华东理工大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
五．设
$$
\begin{aligned}
& \alpha_{1}=(1,1,0,0)^{\prime}, \alpha_{2}=(0,1,1,0)^{\prime}, \alpha_{3}=(0,0,1,1)^{\prime} \\
& \beta_{1}=(1,0,1,0)^{\prime}, \beta_{2}=(0,2,1,1)^{\prime}, \beta_{3}=(1,2,1,2)^{\prime}
\end{aligned}
$$
求向量组 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 和向量组 $\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}, \beta_{3}$ 所生成的两个线性空间的和与交的维数与一组基．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：求向量组α的秩和基
将$\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$按列排成矩阵$A$，并化为行最简形：
$$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \xrightarrow{\text{行变换}} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$
所以$\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$线性无关，$\dim V_1 = 3$，一组基为$\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$。
提示：注意行变换只改变行，不改变列向量组的线性关系。
步骤 2/5
目标：求向量组β的秩和基
将$\beta_1, \beta_2, \beta_3$按列排成矩阵$B$，并化为行最简形：
$$B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix} \xrightarrow{\text{行变换}} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$
所以$\beta_1, \beta_2$线性无关，$\beta_3 = \beta_1 + \beta_2$，$\dim V_2 = 2$，一组基为$\beta_1, \beta_2$。
提示：行最简形中主元列对应原向量组中的极大无关组。
步骤 3/5
目标：求V1+V2的维数和基
$V_1+V_2 = \operatorname{span}\{\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \beta_1, \beta_2\}$。将$\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \beta_1, \beta_2$按列排成矩阵$C$，并化为行最简形：
$$C = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \xrightarrow{\text{行变换}} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}$$
秩为4，所以$\dim(V_1+V_2)=4$，一组基可取$\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \beta_1$（对应主元列）。
提示：和空间的基可以从合并向量组中选取极大无关组。
步骤 4/5
目标：利用维数公式求交空间的维数
由维数公式：$\dim(V_1 \cap V_2) = \dim V_1 + \dim V_2 - \dim(V_1+V_2) = 3+2-4=1$。
公式：$$\dim(V_1 \cap V_2) = \dim V_1 + \dim V_2 - \dim(V_1+V_2)$$
提示：维数公式是求交空间维数的常用方法。
步骤 5/5
目标：求V1∩V2的基
设$x \in V_1 \cap V_2$，则$x = a_1\alpha_1 + a_2\alpha_2 + a_3\alpha_3 = b_1\beta_1 + b_2\beta_2$。移项得齐次线性方程组：$a_1\alpha_1 + a_2\alpha_2 + a_3\alpha_3 - b_1\beta_1 - b_2\beta_2 = 0$。系数矩阵即$C$，其行最简形对应的方程组为：
$$\begin{cases} a_1 + b_2 = 0 \\ a_2 + b_2 = 0 \\ a_3 + b_2 = 0 \\ b_1 - b_2 = 0 \end{cases}$$
取$b_2=1$，得$b_1=1$，$a_1=a_2=a_3=-1$。所以$x = -\alpha_1 -\alpha_2 -\alpha_3 = \beta_1 + \beta_2 = (1,2,1,2)'$。因此$V_1 \cap V_2$的维数为1，一组基为$(1,2,1,2)'$。
提示：解齐次方程组时，自由变量取非零值得到非零解。
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