华东理工大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
八．设 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{m}$ 与 $\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{m}$ 为 $n$ 维欧氏空间 $V$ 的两组向量．证明：若
$$
\left(\alpha_{i}, \alpha_{j}\right)=\left(\beta_{i}, \beta_{j}\right), i, j=1,2, \cdots, m
$$
则由向量组生成的子空间 $\displaystyle L\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{m}\right)$ 与 $\displaystyle L\left(\beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{m}\right)$ 同构．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：定义子空间和线性映射
设 $V_1 = L(\alpha_1, \ldots, \alpha_m)$，$V_2 = L(\beta_1, \ldots, \beta_m)$。定义线性映射 $\varphi: V_1 \to V_2$ 为 $\varphi(\alpha_i) = \beta_i$ 并线性扩张，即对任意 $x = \sum_{i=1}^m a_i \alpha_i \in V_1$，令 $\varphi(x) = \sum_{i=1}^m a_i \beta_i$。
提示：注意映射定义在基上，但需要验证良定义性，即表示唯一性。
步骤 2/6
目标：证明映射的良定义性
需证若 $x=0$ 则 $\varphi(x)=0$。计算 $\|x\|^2 = (x,x) = \sum_{i,j} a_i a_j (\alpha_i, \alpha_j)$。由条件 $(\alpha_i, \alpha_j) = (\beta_i, \beta_j)$，得 $\|x\|^2 = \sum_{i,j} a_i a_j (\beta_i, \beta_j) = \|\varphi(x)\|^2$。故若 $x=0$，则 $\|x\|=0$，从而 $\|\varphi(x)\|=0$，即 $\varphi(x)=0$。因此 $\varphi$ 是良定义的线性映射。
公式：$\|x\|^2 = \sum_{i,j} a_i a_j (\alpha_i, \alpha_j)$
提示：利用内积的正定性：范数为零当且仅当向量为零。
步骤 3/6
目标：证明映射保持内积
由极化恒等式，内积可由范数表示：$(u,v) = \frac{1}{4}(\|u+v\|^2 - \|u-v\|^2)$。由于 $\varphi$ 保持范数（由 $\|\varphi(x)\| = \|x\|$ 可得），故对任意 $x,y \in V_1$，有 $(\varphi(x), \varphi(y)) = (x,y)$。因此 $\varphi$ 是保内积的线性映射。
公式：极化恒等式：$(u,v) = \frac{1}{4}(\|u+v\|^2 - \|u-v\|^2)$
提示：注意极化恒等式在实数域成立，若在复数域需用复数形式。
步骤 4/6
目标：证明映射是单射
若 $\varphi(x)=0$，则 $\|\varphi(x)\|=0$，由保范性得 $\|x\|=0$，故 $x=0$。因此 $\ker \varphi = \{0\}$，$\varphi$ 是单射。
提示：单射等价于核为零。
步骤 5/6
目标：证明映射是满射
由定义，$\varphi$ 的像包含所有 $\beta_i$，而 $V_2$ 由 $\beta_i$ 生成，故 $\operatorname{Im}\varphi = V_2$，即 $\varphi$ 是满射。
提示：满射性直接由生成元在像中得出。
步骤 6/6
目标：结论
$\varphi$ 是线性双射且保持内积，因此是欧氏空间之间的同构，故 $V_1 \cong V_2$。
提示：同构要求线性双射且保持内积。
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