华东理工大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
六．设 $M$ 是数域 $F$ 上的 $n$ 阶方阵，$\displaystyle f(x), g(x)$ 是数域 $F$ 上的多项式，$\displaystyle A=f(M), B=g(M), W, W_{1}, W_{2}$ 分别为方程组 $\displaystyle A B X=0, A X=0, B X=0$ 的解空间．若 $\displaystyle f(x), g(x)$ 互素，求证：$\displaystyle W=W_{1} \oplus W_{2}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：定义向量空间和线性变换
设 $V = F^n$ 为 $n$ 维列向量空间。定义线性变换 $\varphi = f(M), \psi = g(M)$，则 $A = \varphi, B = \psi$。
提示：注意 $M$ 是方阵，$f(M)$ 表示将多项式 $f$ 代入矩阵 $M$ 得到的矩阵。
步骤 2/6
目标：利用互素条件得到恒等式
由于 $f(x), g(x)$ 互素，存在多项式 $u(x), v(x) \in F[x]$ 使得 $u(x)f(x) + v(x)g(x) = 1$。代入 $M$ 得 $u(M)f(M) + v(M)g(M) = I$，即 $u(M)A + v(M)B = I$。
公式：$u(M)A + v(M)B = I$
提示：互素条件保证存在这样的多项式，这是关键步骤。
步骤 3/6
目标：证明 $W \subseteq W_1 + W_2$
对任意 $X \in W$，即 $ABX = 0$。由 $u(M)A + v(M)B = I$ 得 $X = u(M)A X + v(M)B X$。令 $X_1 = v(M)B X$，$X_2 = u(M)A X$，则 $X = X_1 + X_2$。计算 $A X_1 = A v(M)B X = v(M) A B X = 0$，故 $X_1 \in W_1$。计算 $B X_2 = B u(M)A X = u(M) B A X = u(M) A B X = 0$，故 $X_2 \in W_2$。因此 $W \subseteq W_1 + W_2$。
公式：$X = u(M)A X + v(M)B X$
提示：注意 $A$ 和 $B$ 可交换，因为它们是 $M$ 的多项式，所以 $AB=BA$。
步骤 4/6
目标：证明 $W_1 + W_2 \subseteq W$
取 $X_1 \in W_1$，$X_2 \in W_2$，则 $A X_1 = 0$，$B X_2 = 0$。于是 $AB(X_1+X_2) = A(B X_1) + B(A X_2) = A(0) + B(0) = 0$，所以 $X_1+X_2 \in W$。因此 $W_1 + W_2 \subseteq W$。结合上一步得 $W = W_1 + W_2$。
提示：注意 $AB$ 作用时，$B X_1$ 不一定为零，但 $A(B X_1)=0$ 因为 $A X_1=0$ 且 $A$ 与 $B$ 交换。
步骤 5/6
目标：证明 $W_1 \cap W_2 = \{0\}$
取 $X \in W_1 \cap W_2$，则 $A X = 0$ 且 $B X = 0$。由 $u(M)A + v(M)B = I$ 得 $X = u(M)A X + v(M)B X = 0$。故 $W_1 \cap W_2 = \{0\}$。
公式：$X = u(M)A X + v(M)B X$
提示：这里直接代入 $AX=0$ 和 $BX=0$ 得到 $X=0$。
步骤 6/6
目标：结论
由 $W = W_1 + W_2$ 且 $W_1 \cap W_2 = \{0\}$，根据直和的定义，$W = W_1 \oplus W_2$。
提示：直和需要同时满足和与交的条件。
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