华东理工大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
十．判定实二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=5 x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+5 x_{3}^{2}+4 x_{1} x_{2}-8 x_{1} x_{3}-4 x_{2} x_{3}$ 是否正定．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：写出二次型的矩阵
二次型 $f(x_1,x_2,x_3)=5x_1^2+x_2^2+5x_3^2+4x_1x_2-8x_1x_3-4x_2x_3$ 的矩阵 $A$ 是对称矩阵，其中 $a_{ii}$ 为 $x_i^2$ 的系数，$a_{ij}=a_{ji}$ 为 $x_ix_j$ 系数的一半。因此，$A=\begin{pmatrix} 5 & 2 & -4 \\ 2 & 1 & -2 \\ -4 & -2 & 5 \end{pmatrix}$。
公式：二次型 $f(x)=x^TAx$，其中 $A$ 对称。
提示：注意交叉项系数要除以2，例如 $4x_1x_2$ 对应 $a_{12}=2$。
步骤 2/7
目标：计算一阶顺序主子式
一阶顺序主子式 $\Delta_1 = a_{11} = 5 > 0$。
提示：顺序主子式是从左上角开始取子式。
步骤 3/7
目标：计算二阶顺序主子式
二阶顺序主子式 $\Delta_2 = \begin{vmatrix} 5 & 2 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = 5\times1 - 2\times2 = 5-4=1>0$。
公式：二阶行列式公式 $\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}=ad-bc$。
提示：计算时注意符号，不要漏掉负号。
步骤 4/7
目标：计算三阶顺序主子式（行列式）
三阶顺序主子式 $\Delta_3 = \det A = \begin{vmatrix} 5 & 2 & -4 \\ 2 & 1 & -2 \\ -4 & -2 & 5 \end{vmatrix}$。按第一行展开：
$=5\begin{vmatrix} 1 & -2 \\ -2 & 5 \end{vmatrix} -2\begin{vmatrix} 2 & -2 \\ -4 & 5 \end{vmatrix} + (-4)\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ -4 & -2 \end{vmatrix}$。
公式：行列式按行展开公式。
提示：展开时注意符号：$(-1)^{1+j}$，这里第一行元素 $a_{11}=5$ 符号为正，$a_{12}=2$ 符号为负，$a_{13}=-4$ 符号为正。
步骤 5/7
目标：计算各二阶子行列式
计算三个二阶子式：
$\begin{vmatrix} 1 & -2 \\ -2 & 5 \end{vmatrix}=1\times5-(-2)\times(-2)=5-4=1$；
$\begin{vmatrix} 2 & -2 \\ -4 & 5 \end{vmatrix}=2\times5-(-2)\times(-4)=10-8=2$；
$\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ -4 & -2 \end{vmatrix}=2\times(-2)-1\times(-4)=-4+4=0$。
提示：注意负负得正，例如 $(-2)\times(-4)=8$，但前面有负号。
步骤 6/7
目标：代入计算三阶行列式
代入得：$\Delta_3 = 5\times1 - 2\times2 + (-4)\times0 = 5 - 4 + 0 = 1>0$。
提示：注意 $(-4)\times0=0$，不要遗漏。
步骤 7/7
目标：判定正定性
所有顺序主子式均大于零：$\Delta_1=5>0$，$\Delta_2=1>0$，$\Delta_3=1>0$。根据霍尔维茨定理，实二次型 $f$ 是正定的。
公式：霍尔维茨定理：实二次型正定当且仅当所有顺序主子式大于零。
提示：注意顺序主子式必须全部大于零，不能有等于零的情况。
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