华东理工大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
(1):\left\{\begin{array}{l}
x_{1}+x_{2}=0 \\
x_{3}-x_{4}=0
\end{array}\right.
$$
又已知某齐次线性方程组（2）的基础解系为
$$
\eta_{1}=\left(\begin{array}{l}
0 \\
1 \\
1 \\
0
\end{array}\right), \eta_{2}=\left(\begin{array}{c}
-1 \\
2 \\
2 \\
1
\end{array}\right)
$$
求方程组（1）与（2）的公共解．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：求解方程组（1）的基础解系
方程组（1）为：
$$
\begin{cases}
x_1 + x_2 = 0 \\
x_3 - x_4 = 0
\end{cases}
$$
系数矩阵为：
$$
A = \begin{pmatrix}
1 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & -1
\end{pmatrix}
$$
由 $x_1 + x_2 = 0$ 得 $x_1 = -x_2$，由 $x_3 - x_4 = 0$ 得 $x_3 = x_4$。自由变量为 $x_2$ 和 $x_4$。令 $(x_2, x_4) = (1,0)$ 得解向量 $(-1,1,0,0)^T$；令 $(x_2, x_4) = (0,1)$ 得解向量 $(0,0,1,1)^T$。故（1）的基础解系为：
$$
\xi_1 = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad \xi_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}
$$
提示：注意自由变量的选取，确保两个解向量线性无关。
步骤 2/6
目标：写出方程组（2）的基础解系
已知方程组（2）的基础解系为：
$$
\eta_1 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad \eta_2 = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}
$$
提示：基础解系已给出，直接使用。
步骤 3/6
目标：设公共解并表示为线性组合
公共解同时属于（1）和（2），故存在 $k_1, k_2, l_1, l_2$ 使得：
$$
k_1 \xi_1 + k_2 \xi_2 = l_1 \eta_1 + l_2 \eta_2
$$
代入具体向量：
$$
k_1 \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + k_2 \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = l_1 \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + l_2 \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}
$$
提示：注意等式两边是向量相等，对应分量相等。
步骤 4/6
目标：整理得到线性方程组
将上式按分量展开得方程组：
$$
\begin{cases}
-k_1 = -l_2 \\
k_1 = l_1 + 2l_2 \\
k_2 = l_1 + 2l_2 \\
k_2 = l_2
\end{cases}
$$
提示：注意每个分量对应一个方程，不要遗漏。
步骤 5/6
目标：求解线性方程组
由第1式得 $k_1 = l_2$。代入第2式得 $l_2 = l_1 + 2l_2$，即 $l_1 + l_2 = 0$，所以 $l_1 = -l_2$。由第4式得 $k_2 = l_2$，代入第3式得 $l_2 = l_1 + 2l_2$，同样得 $l_1 = -l_2$。因此 $l_1 = -l_2$，令 $l_2 = t$，则 $l_1 = -t$，$k_1 = t$，$k_2 = t$，其中 $t$ 为任意常数。
提示：注意自由参数只有一个，公共解是一维空间。
步骤 6/6
目标：写出公共解表达式
公共解为：
$$
\begin{aligned}
\text{解} &= k_1 \xi_1 + k_2 \xi_2 = t \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = t \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \\
&= l_1 \eta_1 + l_2 \eta_2 = -t \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = t \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}
\end{aligned}
$$
其中 $t \in \mathbb{R}$。因此公共解为 $t(-1,1,1,1)^T$。
提示：验证两种表示结果一致。
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