华东理工大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
四．设四元齐次线性方程组
$$
(1):\left\{\begin{array}{l}
x_{1}+x_{2}=0 \\
x_{3}-x_{4}=0
\end{array}\right.
$$
又已知某齐次线性方程组（2）的基础解系为
$$
\eta_{1}=\left(\begin{array}{l}
0 \\
1 \\
1 \\
0
\end{array}\right), \eta_{2}=\left(\begin{array}{c}
-1 \\
2 \\
2 \\
1
\end{array}\right)
$$
求方程组（1）与（2）的公共解．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：求方程组(1)的基础解系
方程组(1)的系数矩阵为 $A=\begin{pmatrix}1&1&0&0\\0&0&1&-1\end{pmatrix}$，秩为2，解空间维数为 $4-2=2$。令 $x_2=1,x_4=0$ 得 $\xi_1=(-1,1,0,0)^T$；令 $x_2=0,x_4=1$ 得 $\xi_2=(0,0,1,1)^T$。故(1)的通解为 $k_1\xi_1+k_2\xi_2$，$k_1,k_2\in\mathbb{R}$。
提示：注意自由变量的选取，确保得到线性无关的解向量。
步骤 2/6
目标：写出方程组(2)的通解
方程组(2)的基础解系为 $\eta_1=(0,1,1,0)^T$，$\eta_2=(-1,2,2,1)^T$，故(2)的通解为 $l_1\eta_1+l_2\eta_2$，$l_1,l_2\in\mathbb{R}$。
提示：基础解系已给出，直接使用。
步骤 3/6
目标：建立公共解方程
公共解满足存在 $k_1,k_2,l_1,l_2$ 使得 $k_1\xi_1+k_2\xi_2=l_1\eta_1+l_2\eta_2$，即 $$k_1\begin{pmatrix}-1\\1\\0\\0\end{pmatrix}+k_2\begin{pmatrix}0\\0\\1\\1\end{pmatrix}=l_1\begin{pmatrix}0\\1\\1\\0\end{pmatrix}+l_2\begin{pmatrix}-1\\2\\2\\1\end{pmatrix}.$$
提示：注意向量相等对应分量相等。
步骤 4/6
目标：转化为线性方程组
由向量相等得线性方程组：
\begin{cases}
-k_1 = -l_2 \\
k_1 = l_1+2l_2 \\
k_2 = l_1+2l_2 \\
k_2 = l_2
\end{cases}
提示：每个分量对应一个方程，不要遗漏。
步骤 5/6
目标：求解参数关系
由第1式得 $k_1=l_2$，代入第2式得 $l_2=l_1+2l_2$ 即 $l_1=-l_2$。由第4式得 $k_2=l_2$，代入第3式得 $l_2=l_1+2l_2$ 即 $l_1=-l_2$，一致。故 $l_1=-l_2$，$k_1=l_2$，$k_2=l_2$。
提示：注意检查方程的一致性，避免矛盾。
步骤 6/6
目标：求出公共解向量
取 $l_2=1$，则 $l_1=-1$，公共解为 $\eta_1-\eta_2=(0,1,1,0)^T-(-1,2,2,1)^T=(1,-1,-1,-1)^T$。因此公共解为 $c(1,-1,-1,-1)^T$，$c\in\mathbb{R}$。
提示：公共解是齐次解，所以有任意常数倍。
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