华中师范大学 2018年高等代数第2题
📝 题目
2．矩阵 $\displaystyle A, B$ 可相乘，$\displaystyle A B$ 列向量均为 $A$ 列向量的线性组合，证明 $\displaystyle r(A B) \leq r(A)$ 。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：设定矩阵维度和分块
设 $A$ 是 $m \times n$ 矩阵，$B$ 是 $n \times p$ 矩阵，则 $AB$ 是 $m \times p$ 矩阵。将 $A$ 按列分块为 $A = [\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n]$，其中 $\alpha_j \in \mathbb{R}^m$ 是 $A$ 的第 $j$ 列。
提示：注意分块时列向量的顺序与矩阵乘法一致。
步骤 2/6
目标：表示AB的列向量
设 $B = (b_{ij})$，则 $AB$ 的第 $j$ 列 $(AB)_j$ 等于 $A$ 乘以 $B$ 的第 $j$ 列，即 $(AB)_j = A \begin{pmatrix} b_{1j} \\ b_{2j} \\ \vdots \\ b_{nj} \end{pmatrix} = \sum_{k=1}^n b_{kj} \alpha_k$。
公式：$(AB)_j = \sum_{k=1}^n b_{kj} \alpha_k$
提示：注意求和指标 $k$ 从1到 $n$，$b_{kj}$ 是 $B$ 的第 $k$ 行第 $j$ 列元素。
步骤 3/6
目标：说明列空间包含关系
由上式可知，$AB$ 的每一列都是 $A$ 的列向量 $\alpha_1, \dots, \alpha_n$ 的线性组合。因此，$AB$ 的列空间 $\operatorname{Col}(AB)$ 中的任意向量都可以表示为 $A$ 的列向量的线性组合，即 $\operatorname{Col}(AB) \subseteq \operatorname{Col}(A)$。
公式：$\operatorname{Col}(AB) \subseteq \operatorname{Col}(A)$
提示：列空间是矩阵所有列向量的线性组合构成的集合。
步骤 4/6
目标：利用维数不等式
由于 $\operatorname{Col}(AB)$ 是 $\operatorname{Col}(A)$ 的子空间，根据线性空间的性质，子空间的维数不超过原空间的维数，即 $\dim \operatorname{Col}(AB) \leq \dim \operatorname{Col}(A)$。
公式：$\dim U \leq \dim V$ 若 $U \subseteq V$
提示：维数定义：基向量的个数。
步骤 5/6
目标：用秩表示维数
矩阵的秩等于其列空间的维数，即 $r(AB) = \dim \operatorname{Col}(AB)$，$r(A) = \dim \operatorname{Col}(A)$。因此，$r(AB) \leq r(A)$。
公式：$r(X) = \dim \operatorname{Col}(X)$
提示：秩也可以定义为行空间的维数，但这里用列空间更方便。
步骤 6/6
目标：得出结论
综上，我们证明了 $r(AB) \leq r(A)$。类似地，可以证明 $r(AB) \leq r(B)$，但本题只要求前者。
提示：注意不等式方向：乘积的秩不超过每个因子的秩。
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