华中师范大学 2018年高等代数第3题
📝 题目
3．$\displaystyle f, g$ 不全为 0 且互素，证明 $\displaystyle f+g$ 与 $\displaystyle f g$ 互素。
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：明确已知条件
已知 $f, g$ 不全为0且互素，即最大公因式 $(f, g) = 1$。要证明 $(f+g, fg) = 1$。
提示：注意互素的定义：最大公因式为1（或非零常数）。
步骤 2/7
目标：反证法假设
假设 $(f+g, fg) \neq 1$，则存在不可约多项式 $p$ 使得 $p \mid (f+g)$ 且 $p \mid fg$。
提示：不可约多项式类似于素数，是整除性的基本元素。
步骤 3/7
目标：由整除 $fg$ 推出整除 $f$ 或 $g$
由于 $p \mid fg$，且 $p$ 是不可约多项式，根据不可约多项式的性质，$p$ 必整除 $f$ 或 $g$。即 $p \mid f$ 或 $p \mid g$。
提示：不可约多项式整除乘积时，必整除其中一个因子。
步骤 4/7
目标：情况一：$p \mid f$
若 $p \mid f$，又已知 $p \mid (f+g)$，则 $p$ 整除它们的差：$p \mid (f+g) - f = g$。因此 $p \mid f$ 且 $p \mid g$，即 $p$ 是 $f$ 和 $g$ 的公因式。
提示：注意多项式整除的线性组合性质。
步骤 5/7
目标：情况二：$p \mid g$
若 $p \mid g$，同理，由 $p \mid (f+g)$ 得 $p \mid (f+g) - g = f$，所以 $p \mid f$ 且 $p \mid g$。
提示：对称性，与情况一类似。
步骤 6/7
目标：导出矛盾
无论哪种情况，都有 $p \mid f$ 且 $p \mid g$，即 $p$ 是 $f$ 和 $g$ 的一个公因式，且 $p$ 不可约，因此 $(f,g)$ 至少包含 $p$，与已知 $(f,g)=1$ 矛盾。
提示：注意 $(f,g)=1$ 意味着任何非常数多项式都不能同时整除 $f$ 和 $g$。
步骤 7/7
目标：结论
因此假设不成立，不存在这样的不可约多项式 $p$，故 $(f+g, fg) = 1$，即 $f+g$ 与 $fg$ 互素。
提示：证明完成，注意互素的定义。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。