华中师范大学 2021年高等代数第4题
📝 题目
4．（可能有误）已知矩阵
$$
A=\left(\begin{array}{cccc}
0 & 0 & 0 & 1 \\
1 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0 & -1 \\
0 & 0 & 1 & 1
\end{array}\right)
$$
（1）求 $\displaystyle \lambda E_{4}-A$ 的标准形；
（2）求 $A$ 的若尔当标准形．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：写出特征矩阵
给定矩阵 $A$，计算 $\lambda E_4 - A$：
$$\lambda E_4 - A = \begin{pmatrix} \lambda & 0 & 0 & -1 \\ -1 & \lambda & 0 & -1 \\ 0 & -1 & \lambda & 1 \\ 0 & 0 & -1 & \lambda - 1 \end{pmatrix}$$
提示：注意 $\lambda E_4$ 是对角矩阵，减去 $A$ 时对应元素相减。
步骤 2/6
目标：计算特征多项式
计算行列式 $\det(\lambda E - A)$。按第一行展开：
$$\det(\lambda E - A) = \lambda \cdot \det\begin{pmatrix} \lambda & 0 & -1 \\ -1 & \lambda & 1 \\ 0 & -1 & \lambda - 1 \end{pmatrix} - (-1) \cdot \det\begin{pmatrix} -1 & 0 & -1 \\ 0 & \lambda & 1 \\ 0 & -1 & \lambda - 1 \end{pmatrix}$$
先计算第一个子式：
$$\det\begin{pmatrix} \lambda & 0 & -1 \\ -1 & \lambda & 1 \\ 0 & -1 & \lambda - 1 \end{pmatrix} = \lambda(\lambda(\lambda-1)+1) - 1 = \lambda^3 - \lambda^2 + \lambda - 1$$
第二个子式：
$$\det\begin{pmatrix} -1 & 0 & -1 \\ 0 & \lambda & 1 \\ 0 & -1 & \lambda - 1 \end{pmatrix} = -1(\lambda(\lambda-1)+1) = -\lambda^2 + \lambda - 1$$
因此：
$$\det(\lambda E - A) = \lambda(\lambda^3 - \lambda^2 + \lambda - 1) + (-\lambda^2 + \lambda - 1) = \lambda^4 - \lambda^3 - 1$$
公式：行列式展开公式
提示：计算行列式时注意符号，按第一行展开时，元素 $a_{14}=-1$ 的代数余子式为 $(-1)^{1+4} \cdot M_{14} = -M_{14}$，而 $M_{14}$ 是去掉第1行第4列后的子式，注意此处展开正确。
步骤 3/6
目标：确定不变因子
特征多项式 $\lambda^4 - \lambda^3 - 1$ 在有理数域上不可约（无有理根），因此不变因子为 $1,1,1,\lambda^4 - \lambda^3 - 1$。
提示：不变因子由特征多项式的因式分解决定，若多项式不可约，则最后一个不变因子就是特征多项式本身。
步骤 4/6
目标：写出标准形
因此 $\lambda E_4 - A$ 的标准形为：
$$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \lambda^4 - \lambda^3 - 1 \end{pmatrix}$$
提示：标准形是对角矩阵，对角元依次为不变因子。
步骤 5/6
目标：分析特征多项式根的情况
特征多项式 $\lambda^4 - \lambda^3 - 1$ 在复数域上有四个不同的根（因为其判别式非零），因此矩阵 $A$ 可对角化。
提示：可对角化的充要条件是每个特征值的代数重数等于几何重数，这里由于所有特征值互异，故可对角化。
步骤 6/6
目标：写出若尔当标准形
由于 $A$ 可对角化，其若尔当标准形为对角矩阵，对角元为特征多项式的四个根。设 $\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3,\lambda_4$ 为 $\lambda^4 - \lambda^3 - 1 = 0$ 的根，则若尔当标准形为：
$$\begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda_2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda_3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \lambda_4 \end{pmatrix}$$
提示：若尔当标准形中，若特征值互异，则每个若尔当块为1阶。
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