华中科技大学 2025年高等代数第7题
📝 题目
7、（20 分）设 $A$ 为实方阵，$\displaystyle A+A^{T}$ 为正定矩阵，但 $\displaystyle A \neq A^{T}$ ，证明：
$$
\left|A+A^{T}\right|<|2 A| .
$$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：引入对称正定矩阵B
设 $B = A + A^T$，由题设 $B$ 是正定矩阵，且显然对称。由于 $A \neq A^T$，$A$ 不是对称矩阵，故存在非零向量 $x$ 使得 $x^T (A - A^T) x \neq 0$。
公式：$B = A + A^T$
提示：注意 $B$ 是正定对称矩阵，这是后续变换的基础。
步骤 2/8
目标：将 $|2A|$ 用 $B$ 和 $A-A^T$ 表示
考虑 $|2A| = |A + A + A^T - A^T| = |B + (A - A^T)|$。
公式：$|2A| = |B + (A - A^T)|$
提示：注意矩阵加法与行列式的关系，不能直接拆分行列式。
步骤 3/8
目标：合同变换化简
由于 $B$ 正定，存在可逆矩阵 $P$ 使得 $P^T B P = I$。令 $C = P^T (A - A^T) P$，则 $C$ 是反对称矩阵（因为 $A - A^T$ 反对称），且 $C \neq 0$。于是
\[
|2A| = |P^{-T} (I + C) P^{-1}| = |P^{-1}|^2 |I + C|.
\]
公式：$P^T B P = I$, $C = P^T (A - A^T) P$
提示：注意 $P$ 是可逆矩阵，且 $P^{-T}$ 表示 $(P^{-1})^T$。
步骤 4/8
目标：表达 $|A+A^T|$
由于 $|A+A^T| = |B| = |P^{-T} I P^{-1}| = |P^{-1}|^2$。
公式：$|B| = |P^{-1}|^2$
提示：注意 $|P^{-T}| = |P^{-1}|$。
步骤 5/8
目标：转化为证明 $|I+C|>1$
要证 $|B| < |2A|$，即 $|P^{-1}|^2 < |P^{-1}|^2 |I+C|$，等价于 $|I+C| > 1$。
公式：$|I+C| > 1$
提示：注意 $|P^{-1}|^2 > 0$，可以约去。
步骤 6/8
目标：分析 $C$ 的特征值
由于 $C$ 是实反对称矩阵，其特征值为纯虚数或零，且成对共轭出现。设 $C$ 的非零特征值为 $\pm i\lambda_k$（$\lambda_k > 0$），则 $I+C$ 的特征值为 $1 \pm i\lambda_k$ 和 $1$（对应零特征值）。
公式：特征值 $1 \pm i\lambda_k$
提示：反对称矩阵的特征值性质：实反对称矩阵的特征值只能是0或纯虚数。
步骤 7/8
目标：计算 $|I+C|$
于是
\[
|I+C| = \prod_k (1 + i\lambda_k)(1 - i\lambda_k) = \prod_k (1 + \lambda_k^2) \geq 1,
\]
且等号成立当且仅当所有 $\lambda_k = 0$，即 $C = 0$。但 $C \neq 0$，故 $|I+C| > 1$。
公式：$|I+C| = \prod_k (1+\lambda_k^2)$
提示：注意乘积遍历所有非零特征值对，零特征值贡献因子1。
步骤 8/8
目标：得出结论
因此 $|B| < |2A|$，即 $\left|A+A^{T}\right| < |2A|$ 得证。
提示：注意原题中 $|2A|$ 表示行列式，不是绝对值。
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