华中科技大学 2025年高等代数第8题
📝 题目
8、（20分）设 $\displaystyle \alpha, \beta, \gamma$ 是欧氏空间 $\displaystyle \mathbb{R}^{n}$ 中三个非零向量，已知它们两两正交，
记矩阵 $\displaystyle A=\alpha \beta^{T}+\beta \gamma^{T}+\gamma \alpha^{T}$ ．
（1）证明：$\displaystyle r(A)=3$ ．
（2）$A$ 是否可以相似对角化？请证明你的结论。
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：证明向量组线性无关
由于 $\alpha, \beta, \gamma$ 两两正交且非零，则它们线性无关。因为若存在 $k_1\alpha + k_2\beta + k_3\gamma = 0$，两边与 $\alpha$ 内积得 $k_1\|\alpha\|^2 = 0$，故 $k_1=0$，同理 $k_2=k_3=0$。
提示：注意正交性保证了内积为零，但非零向量的模长平方为正。
步骤 2/7
目标：分析矩阵A的列空间
对任意向量 $x$，有 $Ax = \alpha(\beta^T x) + \beta(\gamma^T x) + \gamma(\alpha^T x)$，因此 $\operatorname{Im}(A) \subseteq \operatorname{span}\{\alpha,\beta,\gamma\}$。
公式：$A = \alpha\beta^T + \beta\gamma^T + \gamma\alpha^T$
提示：注意 $\beta^T x$ 是标量，所以每一项都是向量。
步骤 3/7
目标：证明Im(A)包含三个向量
取 $x = \alpha$，则 $A\alpha = \alpha(\beta^T\alpha) + \beta(\gamma^T\alpha) + \gamma(\alpha^T\alpha) = \gamma\|\alpha\|^2$，由于 $\|\alpha\|^2 > 0$ 且 $\gamma \neq 0$，故 $\gamma \in \operatorname{Im}(A)$。类似地，取 $x=\beta$ 得 $\alpha \in \operatorname{Im}(A)$，取 $x=\gamma$ 得 $\beta \in \operatorname{Im}(A)$。因此 $\operatorname{span}\{\alpha,\beta,\gamma\} \subseteq \operatorname{Im}(A)$。
公式：$A\alpha = \gamma\|\alpha\|^2$, $A\beta = \alpha\|\beta\|^2$, $A\gamma = \beta\|\gamma\|^2$
提示：注意利用正交性简化计算：$\beta^T\alpha = 0$, $\gamma^T\alpha = 0$ 等。
步骤 4/7
目标：得出秩为3
由前两步，$\operatorname{Im}(A) = \operatorname{span}\{\alpha,\beta,\gamma\}$，而 $\alpha,\beta,\gamma$ 线性无关，故 $\dim \operatorname{Im}(A) = 3$，即 $r(A)=3$。
提示：秩等于列空间的维数。
步骤 5/7
目标：计算A在基下的矩阵
取基 $\{\alpha,\beta,\gamma\}$，由 $A\alpha = \|\alpha\|^2 \gamma$, $A\beta = \|\beta\|^2 \alpha$, $A\gamma = \|\gamma\|^2 \beta$，得矩阵表示：
$$B = \begin{pmatrix} 0 & \|\beta\|^2 & 0 \\ 0 & 0 & \|\gamma\|^2 \\ \|\alpha\|^2 & 0 & 0 \end{pmatrix}.$$
提示：注意基的顺序：第一列对应 $\alpha$ 的像的坐标，等等。
步骤 6/7
目标：求特征多项式
矩阵 $B$ 的特征多项式为 $\det(\lambda I - B) = \lambda^3 - \|\alpha\|^2\|\beta\|^2\|\gamma\|^2$。令 $c = \|\alpha\|^2\|\beta\|^2\|\gamma\|^2 > 0$，则特征值为 $\sqrt[3]{c}, \omega\sqrt[3]{c}, \omega^2\sqrt[3]{c}$，其中 $\omega = e^{2\pi i/3}$。三个特征值互异。
公式：$\det(\lambda I - B) = \lambda^3 - c$
提示：计算行列式时注意循环矩阵的性质。
步骤 7/7
目标：判断可对角化
由于 $B$ 有3个互异的特征值（在复数域上），故 $B$ 可对角化。$A$ 与 $B$ 相似（在同一基下），因此 $A$ 也可对角化。注意 $A$ 是实矩阵，但特征值可能为复数，所以是在复数域上可对角化。
提示：相似对角化通常指在复数域上，若要求实对角化则需特征值全为实数，此处不成立。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。