华南理工大学 2023年高等代数第0题
📝 题目
一．设 $\displaystyle f_{i}(x) \in \mathbb{P}[x], i=1,2, \cdots, n$ ，求证 $\displaystyle \sum_{i=0}^{n} x^{i} \mid \sum_{k=1}^{n} x^{n-k} f_{k}\left(x^{n+1}\right)$ 的充要条件为 $\displaystyle x-1 \mid f_{i}(x), i= 1,2, \cdots, n$.
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：理解题目并转化条件
设 $g(x)=\sum_{i=0}^{n} x^{i}$，$h(x)=\sum_{k=1}^{n} x^{n-k} f_{k}(x^{n+1})$。题目要求证明 $g(x) \mid h(x)$ 的充要条件是 $x-1 \mid f_{i}(x)$ 对所有 $i=1,\ldots,n$ 成立。
公式：$g(x)=\sum_{i=0}^{n} x^{i}$，$h(x)=\sum_{k=1}^{n} x^{n-k} f_{k}(x^{n+1})$
提示：注意 $g(x)$ 是等比数列求和，可写成 $\frac{x^{n+1}-1}{x-1}$。
步骤 2/6
目标：必要性：由整除推出根的关系
若 $g(x) \mid h(x)$，则 $g(x)$ 的根都是 $h(x)$ 的根。$g(x)$ 的根是 $n+1$ 次单位根中除去 $1$ 的那些，即 $\omega$ 满足 $\omega^{n+1}=1$ 且 $\omega \neq 1$。
公式：$g(\omega)=0 \Rightarrow \omega^{n+1}=1, \omega \neq 1$
提示：注意 $g(x)$ 无重根，因为 $g(x)$ 与 $g'(x)$ 互素。
步骤 3/6
目标：必要性：代入根得到方程组
对任意 $n+1$ 次单位根 $\omega \neq 1$，有 $h(\omega)=0$，即 $\sum_{k=1}^{n} \omega^{n-k} f_{k}(\omega^{n+1}) = \sum_{k=1}^{n} \omega^{n-k} f_{k}(1) = 0$。这里 $\omega^{n+1}=1$。
公式：$\sum_{k=1}^{n} \omega^{n-k} f_{k}(1)=0$
提示：注意 $f_k(\omega^{n+1})$ 简化为 $f_k(1)$，因为 $\omega^{n+1}=1$。
步骤 4/6
目标：必要性：利用线性无关性推出 $f_k(1)=0$
取 $n$ 个不同的 $n+1$ 次本原根 $\omega_1,\ldots,\omega_n$，则方程组 $\sum_{k=1}^{n} \omega_j^{n-k} f_k(1)=0$ 对 $j=1,\ldots,n$ 成立。系数矩阵是范德蒙矩阵，行列式非零，故只有零解 $f_k(1)=0$，即 $x-1 \mid f_k(x)$。
公式：$\det(\omega_j^{n-k}) \neq 0$
提示：范德蒙行列式非零要求 $\omega_j$ 互不相同，这里取不同的本原根即可。
步骤 5/6
目标：充分性：由 $f_k(1)=0$ 推出整除
若 $x-1 \mid f_k(x)$ 对所有 $k$ 成立，则 $f_k(1)=0$。对任意 $n+1$ 次单位根 $\omega \neq 1$，有 $\omega^{n+1}=1$，故 $f_k(\omega^{n+1})=f_k(1)=0$，从而 $h(\omega)=0$。又 $g(\omega)=0$，且 $g(x)$ 无重根，所以 $g(x) \mid h(x)$。
公式：$h(\omega)=\sum_{k=1}^{n} \omega^{n-k} f_k(1)=0$
提示：充分性中只需验证 $g(x)$ 的所有根都是 $h(x)$ 的根，且 $g(x)$ 无重根，即可推出整除。
步骤 6/6
目标：总结结论
综上，$g(x) \mid h(x)$ 当且仅当 $x-1 \mid f_i(x)$ 对所有 $i=1,\ldots,n$ 成立。
提示：注意充要条件的两端都要证明。
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