华南理工大学 2023年高等代数第0题
📝 题目
七．在 $n$ 维欧氏空间 $V$ 中，$\displaystyle \gamma$ 是非零向量，定义 $V$ 中线性变换
$$
W_{0}=\{x \mid(x, \gamma)=0, x \in V\} . \quad A x=x-\frac{2(x, \gamma)}{(\gamma, \gamma)} \gamma, \forall x \in V .
$$
（1）证明 $\displaystyle W_{0}$ 是 $A$ 的不变子空间，并求 $\displaystyle W_{0}$ 的维数．
（2）若 $W$ 是 $A$ 的不变子空间，证明：$\displaystyle \gamma \in W$ 或 $\displaystyle W \subset W_{0}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：证明W0是A的不变子空间
对任意 $x \in W_0$，有 $(x, \gamma)=0$。计算 $Ax = x - \frac{2(x,\gamma)}{(\gamma,\gamma)}\gamma = x - 0 = x$，所以 $Ax = x \in W_0$，故 $W_0$ 是 $A$ 的不变子空间。
公式：$Ax = x - \frac{2(x,\gamma)}{(\gamma,\gamma)}\gamma$
提示：注意 $(x,\gamma)=0$ 时，第二项为零，$Ax=x$。
步骤 2/6
目标：求W0的维数
$W_0 = \{x \in V \mid (x,\gamma)=0\}$ 是 $\gamma$ 的正交补空间。由于 $\gamma \neq 0$，$\dim W_0 = n-1$。
公式：$\dim W_0 = n-1$
提示：正交补的维数公式：$\dim U^\perp = n - \dim U$，这里 $U = \text{span}\{\gamma\}$ 维数为1。
步骤 3/6
目标：证明(2)的准备工作
设 $W$ 是 $A$ 的不变子空间。对任意 $x \in W$，有 $Ax \in W$。考虑两种情况：存在 $x \in W$ 使得 $(x,\gamma) \neq 0$，或对所有 $x \in W$ 都有 $(x,\gamma)=0$。
提示：分类讨论是常见思路。
步骤 4/6
目标：情况1：存在x使得内积非零
若存在 $x \in W$ 使得 $(x,\gamma) \neq 0$，则 $Ax = x - \frac{2(x,\gamma)}{(\gamma,\gamma)}\gamma$。移项得 $\gamma = \frac{(\gamma,\gamma)}{2(x,\gamma)}(x - Ax)$。由于 $x, Ax \in W$，且 $W$ 是子空间，故 $\gamma \in W$。
公式：$\gamma = \frac{(\gamma,\gamma)}{2(x,\gamma)}(x - Ax)$
提示：注意分母不为零，且子空间对线性运算封闭。
步骤 5/6
目标：情况2：所有x内积为零
若对所有 $x \in W$ 都有 $(x,\gamma)=0$，则根据 $W_0$ 的定义，$W \subset W_0$。
提示：直接由定义得出。
步骤 6/6
目标：结论
综合两种情况，若 $W$ 是 $A$ 的不变子空间，则 $\gamma \in W$ 或 $W \subset W_0$。
提示：注意两种情况互斥，但结论是或关系。
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