华南理工大学 2023年高等代数第0题
📝 题目
三．当 $\displaystyle \lambda, \mu$ 为何值时，线性方程组
$$
\left\{\begin{array}{l}
x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=0 \\
x_{1}+3 x_{2}+5 x_{3}+5 x_{4}=2 \\
0-x_{2}+(\lambda-3) x_{3}-2 x_{4}=\mu \\
x_{1}+2 x_{2}+\lambda x_{3}+x_{4}=0 .
\end{array}\right.
$$
无解？有唯一解？有无穷多解？并求出有无穷多解时的特解．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：写出增广矩阵
将方程组写成增广矩阵形式：
$$
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 & 0 \\
1 & 3 & 5 & 5 & 2 \\
0 & -1 & \lambda-3 & -2 & \mu \\
1 & 2 & \lambda & 1 & 0
\end{pmatrix}
$$
提示：注意常数项放在最后一列，不要遗漏负号。
步骤 2/8
目标：初等行变换（消去第一列）
第一行乘以-1加到第二行和第四行：
$$
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 & 0 \\
0 & 2 & 4 & 4 & 2 \\
0 & -1 & \lambda-3 & -2 & \mu \\
0 & 1 & \lambda-1 & 0 & 0
\end{pmatrix}
$$
第二行乘以1/2：
$$
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 2 & 2 & 1 \\
0 & -1 & \lambda-3 & -2 & \mu \\
0 & 1 & \lambda-1 & 0 & 0
\end{pmatrix}
$$
提示：行变换时注意符号，第二行乘以1/2后不要忘记常数项也除以2。
步骤 3/8
目标：继续行变换（消去第二列）
第二行加到第三行，第二行乘以-1加到第四行：
$$
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 2 & 2 & 1 \\
0 & 0 & \lambda-1 & 0 & \mu+1 \\
0 & 0 & \lambda-3 & -2 & -1
\end{pmatrix}
$$
交换第三行和第四行：
$$
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 2 & 2 & 1 \\
0 & 0 & \lambda-3 & -2 & -1 \\
0 & 0 & \lambda-1 & 0 & \mu+1
\end{pmatrix}
$$
提示：交换行是为了方便讨论，注意不要弄错行。
步骤 4/8
目标：讨论λ≠3且λ≠1的情况
当 $\lambda-3 \neq 0$ 且 $\lambda-1 \neq 0$，即 $\lambda \neq 3$ 且 $\lambda \neq 1$ 时，系数矩阵的秩为4，增广矩阵的秩也为4，方程组有唯一解。
提示：注意此时矩阵已经行阶梯形，非零行有4行。
步骤 5/8
目标：讨论λ=3的情况
当 $\lambda = 3$ 时，矩阵变为：
$$
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 2 & 2 & 1 \\
0 & 0 & 0 & -2 & -1 \\
0 & 0 & 2 & 0 & \mu+1
\end{pmatrix}
$$
交换第三行和第四行：
$$
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 2 & 2 & 1 \\
0 & 0 & 2 & 0 & \mu+1 \\
0 & 0 & 0 & -2 & -1
\end{pmatrix}
$$
此时系数矩阵的秩为4，增广矩阵的秩也为4，方程组有唯一解。
提示：注意交换行后矩阵仍为行阶梯形，非零行有4行。
步骤 6/8
目标：讨论λ=1的情况
当 $\lambda = 1$ 时，矩阵变为：
$$
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 2 & 2 & 1 \\
0 & 0 & -2 & -2 & -1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & \mu+1
\end{pmatrix}
$$
此时系数矩阵的秩为3。若 $\mu+1 \neq 0$，即 $\mu \neq -1$，则增广矩阵的秩为4，方程组无解。若 $\mu = -1$，则增广矩阵的秩为3，方程组有无穷多解。
提示：注意最后一行全为0时，系数矩阵秩为3，增广矩阵秩取决于常数项。
步骤 7/8
目标：求无穷多解时的特解
当 $\lambda=1, \mu=-1$ 时，增广矩阵为：
$$
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 2 & 2 & 1 \\
0 & 0 & -2 & -2 & -1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
$$
第三行除以-2：
$$
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 2 & 2 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 1 & 1/2 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
$$
第二行减去第三行的2倍：
$$
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 1 & 1/2 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
$$
第一行减去第二行和第三行：
$$
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 & -1/2 \\
0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 1 & 1/2 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
$$
取自由变量 $x_4 = 0$，得特解：$x_1 = -1/2, x_2 = 0, x_3 = 1/2, x_4 = 0$。
提示：自由变量可以任意取，通常取0得到特解。
步骤 8/8
目标：总结结论
综上所述：
- 当 $\lambda \neq 1$ 时，方程组有唯一解；
- 当 $\lambda = 1$ 且 $\mu \neq -1$ 时，方程组无解；
- 当 $\lambda = 1$ 且 $\mu = -1$ 时，方程组有无穷多解，特解为 $(-1/2, 0, 1/2, 0)^T$。
提示：注意唯一解的条件是λ≠1，而λ=3已包含在内。
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