华南理工大学 2023年高等代数第0题
📝 题目
六．$\displaystyle f(x) \in \mathbb{P}[x], x_{1}, x_{2} \in \mathbb{P}$ 是二次多项式 $\displaystyle f(x)$ 的两个不同根，对数域 $\displaystyle \mathbb{P}$ 上的线性空间 $V$ 上的非数乘线性变换 $A$ 有 $\displaystyle f(A)=0$ 。
（1）证明：$\displaystyle x_{1}, x_{2}$ 是 $A$ 的特征值；
（2）证明：$\displaystyle V=V_{x_{1}} \oplus V_{x_{2}}$ ．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：分解多项式并代入线性变换
由于 $f(x)$ 是二次多项式，且 $x_1, x_2$ 是它的两个不同根，故可设 $f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)$，其中 $a \neq 0$。由 $f(A) = 0$ 得 $a(A - x_1 I)(A - x_2 I) = 0$，两边除以 $a$ 得 $(A - x_1 I)(A - x_2 I) = 0$。
公式：$f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)$，$(A - x_1 I)(A - x_2 I) = 0$
提示：注意 $a \neq 0$，否则 $f(x)$ 不是二次多项式。
步骤 2/6
目标：证明 $x_1$ 和 $x_2$ 都是特征值
任取非零向量 $\alpha \in V$。若 $(A - x_2 I)\alpha = 0$，则 $A\alpha = x_2 \alpha$，即 $x_2$ 是特征值。否则，令 $\beta = (A - x_2 I)\alpha \neq 0$，则 $(A - x_1 I)\beta = (A - x_1 I)(A - x_2 I)\alpha = 0$，故 $A\beta = x_1 \beta$，即 $x_1$ 是特征值。因此 $x_1, x_2$ 都是 $A$ 的特征值。
公式：$(A - x_1 I)(A - x_2 I) = 0$
提示：注意非零向量 $\alpha$ 的选取，以及 $\beta$ 非零的假设。
步骤 3/6
目标：构造向量分解表达式
对任意 $\alpha \in V$，利用恒等式 $\alpha = \frac{1}{x_2 - x_1}[(A - x_1 I)\alpha - (A - x_2 I)\alpha]$，令 $\alpha_1 = \frac{1}{x_2 - x_1}(A - x_1 I)\alpha$，$\alpha_2 = -\frac{1}{x_2 - x_1}(A - x_2 I)\alpha$，则 $\alpha = \alpha_1 + \alpha_2$。
公式：$\alpha = \frac{1}{x_2 - x_1}[(A - x_1 I)\alpha - (A - x_2 I)\alpha]$
提示：注意分母 $x_2 - x_1 \neq 0$，因为根不同。
步骤 4/6
目标：证明 $\alpha_1 \in V_{x_2}$
计算 $(A - x_2 I)\alpha_1 = \frac{1}{x_2 - x_1}(A - x_2 I)(A - x_1 I)\alpha = 0$，故 $A\alpha_1 = x_2 \alpha_1$，即 $\alpha_1$ 属于特征值 $x_2$ 的特征子空间 $V_{x_2}$。
公式：$(A - x_2 I)(A - x_1 I) = 0$
提示：注意 $(A - x_2 I)(A - x_1 I) = (A - x_1 I)(A - x_2 I)$，因为多项式可交换。
步骤 5/6
目标：证明 $\alpha_2 \in V_{x_1}$
计算 $(A - x_1 I)\alpha_2 = -\frac{1}{x_2 - x_1}(A - x_1 I)(A - x_2 I)\alpha = 0$，故 $A\alpha_2 = x_1 \alpha_2$，即 $\alpha_2$ 属于特征值 $x_1$ 的特征子空间 $V_{x_1}$。
公式：$(A - x_1 I)(A - x_2 I) = 0$
提示：注意符号，但最终结果为零。
步骤 6/6
目标：证明和为直和
由以上两步得 $V = V_{x_1} + V_{x_2}$。若 $\alpha \in V_{x_1} \cap V_{x_2}$，则 $A\alpha = x_1 \alpha = x_2 \alpha$，由 $x_1 \neq x_2$ 得 $\alpha = 0$，故交为零空间，和为直和。因此 $V = V_{x_1} \oplus V_{x_2}$。
公式：$x_1 \neq x_2$
提示：直和需要证明和是直和，即交为零。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。