华南理工大学 2023年高等代数第0题
📝 题目
四．$A$ 为 $n$ 阶正定矩阵，$B$ 为 $n$ 阶实可逆矩阵，二次型 $\displaystyle f(X)$ 的矩阵为 $\displaystyle \left(\begin{array}{cc}A & B^{T} \\ B & 0\end{array}\right)$ ．
（1）证明：$\displaystyle B^{T} A^{-1} B$ 是正定矩阵；
（2）求 $f$ 的正负惯性指数。
五。 $V$ 是有限维实线性空间，$A$ 是 $V$ 上的线性变换存在复数 $\displaystyle a+b i(b \neq 0)$ 对 $A$ 的特征多项式 $\displaystyle f(x)$有 $\displaystyle f(a+b i)=0$ ，证明：$V$ 上存在二维了空间 $W$ ，使得 $\displaystyle A(W) \subset W$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：证明 B^T A^{-1} B 是正定矩阵
由于 $A$ 是正定矩阵，故 $A$ 可逆且 $A^{-1}$ 也是正定矩阵。对于任意非零列向量 $y \in \mathbb{R}^n$，令 $x = B y$，则 $x \neq 0$（因为 $B$ 可逆）。于是 $y^T (B^T A^{-1} B) y = (B y)^T A^{-1} (B y) = x^T A^{-1} x > 0$，因为 $A^{-1}$ 正定。所以 $B^T A^{-1} B$ 是正定矩阵。
公式：y^T (B^T A^{-1} B) y = (B y)^T A^{-1} (B y)
提示：注意利用 $B$ 的可逆性保证 $x \neq 0$，否则正定性不成立。
步骤 2/7
目标：对二次型矩阵进行合同变换
二次型 $f$ 的矩阵为 $M = \begin{pmatrix} A & B^T \\ B & 0 \end{pmatrix}$。考虑合同变换：左乘 $\begin{pmatrix} I & 0 \\ -B A^{-1} & I \end{pmatrix}$，右乘 $\begin{pmatrix} I & -A^{-1} B^T \\ 0 & I \end{pmatrix}$，得到 $\begin{pmatrix} A & 0 \\ 0 & -B A^{-1} B^T \end{pmatrix}$。
公式：\begin{pmatrix} I & 0 \\ -B A^{-1} & I \end{pmatrix} \begin{pmatrix} A & B^T \\ B & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} I & -A^{-1} B^T \\ 0 & I \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} A & 0 \\ 0 & -B A^{-1} B^T \end{pmatrix}
提示：合同变换需同时左乘和右乘互为转置的矩阵，注意计算顺序。
步骤 3/7
目标：分析合同矩阵的惯性指数
由于 $A$ 正定，其正惯性指数为 $n$，负惯性指数为 $0$。而 $B A^{-1} B^T$ 正定（由(1)知 $B^T A^{-1} B$ 正定，但此处是 $B A^{-1} B^T$，类似可证），故 $-B A^{-1} B^T$ 负定，其负惯性指数为 $n$，正惯性指数为 $0$。因此 $M$ 的正惯性指数为 $n$，负惯性指数为 $n$。
提示：注意 $B A^{-1} B^T$ 与 $B^T A^{-1} B$ 的正定性类似，但需确认矩阵阶数。
步骤 4/7
目标：写出二次型 f 的正负惯性指数
由合同变换不改变惯性指数，得二次型 $f$ 的正惯性指数为 $n$，负惯性指数为 $n$。
提示：惯性指数是合同不变量，不要与特征值混淆。
步骤 5/7
目标：利用复特征值构造不变子空间
设 $f(x)$ 是 $A$ 的特征多项式，已知存在复数 $\lambda = a + bi$（$b \neq 0$）使得 $f(\lambda)=0$。由于 $f(x)$ 是实系数多项式，其复根成对出现，故 $\overline{\lambda} = a - bi$ 也是 $f(x)$ 的根。取 $\lambda$ 对应的一个特征向量 $\alpha \in V \otimes \mathbb{C}$，即 $A\alpha = \lambda \alpha$。将 $\alpha$ 写成实部和虚部：$\alpha = u + iv$，其中 $u, v \in V$。
公式：A(u+iv) = (a+bi)(u+iv)
提示：注意特征向量在复化空间中的表示，实部和虚部都是实向量。
步骤 6/7
目标：推导实部和虚部满足的关系
由 $A(u+iv) = (a+bi)(u+iv) = (au - bv) + i(bu + av)$，比较实虚部得：$Au = au - bv$，$Av = bu + av$。于是 $u, v$ 张成的二维实子空间 $W = \operatorname{span}\{u, v\}$ 满足 $A(W) \subset W$。
公式：Au = au - bv, Av = bu + av
提示：注意矩阵乘法与复数乘法的对应关系。
步骤 7/7
目标：证明 u 和 v 线性无关
若 $u, v$ 线性相关，则存在实数 $k$ 使得 $v = k u$，代入 $Au = a u - b k u = (a - bk)u$，$Av = b u + a k u = (b + ak)u$。但 $Av = A(k u) = k Au = k(a - bk)u$，故 $(b + ak)u = k(a - bk)u$，即 $b + ak = k(a - bk)$，整理得 $b(1+k^2)=0$，与 $b \neq 0$ 矛盾。所以 $u, v$ 线性无关，$W$ 是二维子空间。
提示：反证法，注意利用 $b \neq 0$ 推出矛盾。
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