南京信息工程大学 2021年高等代数第0题

线性空间 $V$ 由所有满足条件 $a_{11} - a_{12} + a_{21} = 0$ 的 $2\times 2$ 实矩阵组成。即 $V = \left\{ \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix} \mid a_{11} - a_{12} + a_{21} = 0 \right\}$。

将矩阵记为 $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$，则条件为 $a - b + c = 0$，即 $c = b - a$。因此矩阵可表示为 $\begin{pmatrix} a & b \\ b-a & d \end{pmatrix}$，其中 $a, b, d \in \mathbb{R}$ 是自由参数。

矩阵由三个独立参数 $a, b, d$ 完全确定，因此 $V$ 的维数为 $3$。

为构造一组基，分别令每个自由参数为 $1$，其余为 $0$： - 令 $a=1, b=0, d=0$，得矩阵 $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$； - 令 $a=0, b=1, d=0$，得矩阵 $\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$； - 令 $a=0, b=0, d=1$，得矩阵 $\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$。

设 $\alpha_1 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}, \alpha_2 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \alpha_3 = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$。若 $k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 + k_3\alpha_3 = 0$，则 $\begin{pmatrix} k_1 & k_2 \\ -k_1 + k_2 & k_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$，解得 $k_1 = k_2 = k_3 = 0$，故线性无关。

任意 $V$ 中矩阵可写为 $\begin{pmatrix} a & b \\ b-a & d \end{pmatrix} = a\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} + b\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} + d\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$，因此这三个矩阵生成 $V$。

线性空间 $V$ 的维数为 $3$，一组基为 $\left\{ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \right\}$。