南京信息工程大学 2021年高等代数第0题
📝 题目
2．首项系数是 1 的 3 次多项式 $f(x)$ ，被 $x-1$ 除余 1 ，被 $x-2$ 除余 2 ，被 $x-3$除余 3 ，则 $f(x)=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：设出多项式形式
由于 $f(x)$ 是首项系数为 1 的 3 次多项式，可设 $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$，其中 $a, b, c$ 为待定系数。
提示：注意首项系数为1，不要遗漏常数项。
步骤 2/7
目标：应用余数定理列出方程
根据余数定理，$f(x)$ 除以 $x-1$ 余 1，即 $f(1)=1$；同理 $f(2)=2$，$f(3)=3$。代入 $f(x)$ 得：
$$\begin{cases} 1 + a + b + c = 1 \\ 8 + 4a + 2b + c = 2 \\ 27 + 9a + 3b + c = 3 \end{cases}$$
公式：余数定理：$f(x)$ 除以 $x-k$ 的余数为 $f(k)$。
提示：代入时注意计算正确，特别是 $2^3=8$，$3^3=27$。
步骤 3/7
目标：化简方程组
将上述方程组化简为：
$$\begin{cases} a + b + c = 0 & \text{(1)} \\ 4a + 2b + c = -6 & \text{(2)} \\ 9a + 3b + c = -24 & \text{(3)} \end{cases}$$
提示：移项时注意符号，例如 $1+a+b+c=1$ 化简为 $a+b+c=0$。
步骤 4/7
目标：消去c，得到关于a,b的方程组
用(2)式减去(1)式得：$(4a+2b+c)-(a+b+c) = -6-0$，即 $3a+b=-6$ (4)。
用(3)式减去(2)式得：$(9a+3b+c)-(4a+2b+c) = -24-(-6)$，即 $5a+b=-18$ (5)。
提示：相减时注意常数项也要相减，避免遗漏。
步骤 5/7
目标：解出a和b
用(5)式减去(4)式得：$(5a+b)-(3a+b) = -18-(-6)$，即 $2a=-12$，解得 $a=-6$。
代入(4)式：$3(-6)+b=-6$，即 $-18+b=-6$，解得 $b=12$。
提示：解方程时注意符号，代入后仔细计算。
步骤 6/7
目标：解出c
将 $a=-6$，$b=12$ 代入(1)式：$-6+12+c=0$，即 $6+c=0$，解得 $c=-6$。
提示：代入后检查是否满足所有方程。
步骤 7/7
目标：写出多项式
将 $a=-6$，$b=12$，$c=-6$ 代入 $f(x)=x^3+ax^2+bx+c$，得 $f(x)=x^3-6x^2+12x-6$。
提示：检查多项式是否满足题目条件，例如 $f(1)=1$，$f(2)=2$，$f(3)=3$。
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