南京信息工程大学 2021年高等代数第0题
📝 题目
3．如果把复 $n$ 级对称矩阵按合同分类，即两个复 $n$ 级对称矩阵属于同一类当且仅当它们合同，则共有 $\_\_\_\_$类。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：理解合同的定义
两个复对称矩阵 $A$ 和 $B$ 合同，如果存在可逆矩阵 $P$ 使得 $B = P^T A P$。合同关系是等价关系，将复对称矩阵划分为若干类。
公式：B = P^T A P
提示：注意合同与相似的区别：合同要求转置，相似要求逆。
步骤 2/5
目标：回忆复对称矩阵的合同标准形
对于任意复对称矩阵 $A$，存在可逆矩阵 $P$ 使得 $P^T A P = \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$，其中 $r = \operatorname{rank}(A)$。这是因为复数域上对称矩阵可以合同于对角矩阵，且非零特征值可以归一化为1。
公式：P^T A P = \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}
提示：复数域上，任何非零复数都可以开平方，因此可以归一化。
步骤 3/5
目标：确定合同不变量
由标准形可知，秩 $r$ 是合同下的不变量：如果两个对称矩阵合同，则它们的秩相等。反之，如果两个对称矩阵秩相等，则它们都合同于同一个标准形，因此它们也合同。所以秩完全决定了合同类。
提示：注意：在实数域中，惯性指数也是不变量，但复数域中只有秩。
步骤 4/5
目标：计算可能的秩的个数
对于 $n$ 级复对称矩阵，秩 $r$ 可以取 $0, 1, 2, \dots, n$，共 $n+1$ 个可能的值。每个秩对应一个合同类。
提示：秩为0对应零矩阵，秩为n对应满秩矩阵。
步骤 5/5
目标：得出结论
因此，复 $n$ 级对称矩阵按合同分类，共有 $n+1$ 类。
提示：注意：题目问的是“类”的数量，不是矩阵的数量。
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