南京信息工程大学 2021年高等代数第0题
📝 题目
4．已知 $A=\left(\begin{array}{ccc}1 & -1 & 1 \\ 2 & 4 & -2 \\ -3 & -3 & a\end{array}\right)$ 与 $B=\left(\begin{array}{lll}2 & & \\ & 2 & \\ & & b\end{array}\right)$ 相似，则 $a=$ $\_\_\_\_$ ，$b=$ $\_\_\_\_$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：利用相似矩阵特征值相同
由于矩阵 $A$ 与 $B$ 相似，它们有相同的特征值。$B$ 是对角矩阵，特征值为 $2,2,b$。因此 $A$ 的特征值也应为 $2,2,b$。
提示：相似矩阵的特征值相同，但特征向量不一定相同。
步骤 2/5
目标：利用特征值的和等于矩阵的迹
矩阵的迹等于特征值之和。计算 $A$ 的迹：$\operatorname{tr}(A)=1+4+a=5+a$。$B$ 的迹：$\operatorname{tr}(B)=2+2+b=4+b$。由 $\operatorname{tr}(A)=\operatorname{tr}(B)$ 得 $5+a=4+b$，即 $b=a+1$。
公式：$\operatorname{tr}(A)=\sum \lambda_i$
提示：注意迹是主对角线元素之和，不要漏掉或加错。
步骤 3/5
目标：利用特征值的积等于行列式
矩阵的行列式等于特征值之积。计算 $A$ 的行列式：
$\det(A)=\begin{vmatrix}1 & -1 & 1 \\ 2 & 4 & -2 \\ -3 & -3 & a\end{vmatrix}$
按第一行展开：
$=1\cdot\begin{vmatrix}4 & -2 \\ -3 & a\end{vmatrix} - (-1)\cdot\begin{vmatrix}2 & -2 \\ -3 & a\end{vmatrix} + 1\cdot\begin{vmatrix}2 & 4 \\ -3 & -3\end{vmatrix}$
$= (4a - 6) + (2a - 6) + (-6 + 12) = 6a - 6$。
$B$ 的行列式：$\det(B)=2\cdot2\cdot b=4b$。由 $\det(A)=\det(B)$ 得 $6a-6=4b$。
公式：$\det(A)=\prod \lambda_i$
提示：计算行列式时注意符号，尤其是展开时正负号交替。
步骤 4/5
目标：联立方程求解
将 $b=a+1$ 代入 $6a-6=4b$ 得 $6a-6=4(a+1)=4a+4$，移项得 $2a=10$，解得 $a=5$，则 $b=6$。
提示：代入后注意化简，避免计算错误。
步骤 5/5
目标：验证结果
将 $a=5$ 代入 $A$，得 $A=\begin{pmatrix}1 & -1 & 1 \\ 2 & 4 & -2 \\ -3 & -3 & 5\end{pmatrix}$，其特征值应为 $2,2,6$。可验证迹为 $1+4+5=10$，等于 $2+2+6=10$；行列式为 $6\times5-6=24$，等于 $2\times2\times6=24$，结果一致。
提示：验证是检查错误的重要步骤，建议养成习惯。
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