南京信息工程大学 2021年高等代数第0题
📝 题目
5．已知 $\alpha_{1}=\left(\begin{array}{l}0 \\ 1 \\ 0\end{array}\right), \alpha_{2}=\left(\begin{array}{c}-3 \\ 2 \\ 2\end{array}\right)$ 是线性方程组 $\left\{\begin{array}{l}x_{1}-x_{2}+2 x_{3}=-1 \\ 3 x_{1}+x_{2}+4 x_{3}=1 \\ a x_{1}+b x_{2}+c x_{3}=d\end{array}\right.$ 的两个解，系数矩阵的秩为 $\_\_\_\_$ ，方程组的通解为 $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：验证已知解满足前两个方程
将 $\alpha_1 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ 和 $\alpha_2 = \begin{pmatrix} -3 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}$ 分别代入前两个方程，验证成立：
对于 $\alpha_1$：
第一个方程：$0 - 1 + 0 = -1$，成立。
第二个方程：$0 + 1 + 0 = 1$，成立。
对于 $\alpha_2$：
第一个方程：$-3 - 2 + 4 = -1$，成立。
第二个方程：$-9 + 2 + 8 = 1$，成立。
提示：代入时注意符号和计算准确性。
步骤 2/7
目标：利用第三个方程建立参数关系
将 $\alpha_1$ 代入第三个方程：$a\cdot0 + b\cdot1 + c\cdot0 = d$，得 $b = d$。
将 $\alpha_2$ 代入第三个方程：$a(-3) + b\cdot2 + c\cdot2 = d$，得 $-3a + 2b + 2c = d$。
代入 $b = d$，得 $-3a + 2b + 2c = b$，即 $-3a + b + 2c = 0$。
提示：注意第三个方程中的系数 $a,b,c,d$ 是未知参数，需通过解的条件确定关系。
步骤 3/7
目标：确定系数矩阵的秩
系数矩阵 $A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 3 & 1 & 4 \\ a & b & c \end{pmatrix}$。由于前两行不成比例，$\text{rank}(A) \geq 2$。又因为方程组有解且有两个不同解，故 $\text{rank}(A) < 3$，所以 $\text{rank}(A) = 2$。
提示：注意：方程组有解且解不唯一时，系数矩阵的秩小于未知数个数且等于增广矩阵的秩。
步骤 4/7
目标：求齐次方程的一个非零解
由于 $\alpha_1$ 和 $\alpha_2$ 都是非齐次方程的解，它们的差 $\alpha_2 - \alpha_1 = \begin{pmatrix} -3 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}$ 是齐次方程 $Ax=0$ 的解。
提示：非齐次方程的两个解之差是齐次方程的解。
步骤 5/7
目标：确定齐次方程解空间的维数
系数矩阵的秩为2，未知数个数为3，故齐次方程解空间的维数为 $3 - 2 = 1$。因此，$\alpha_2 - \alpha_1$ 构成齐次方程的一个基础解系。
公式：解空间维数 = 未知数个数 - 系数矩阵的秩
提示：基础解系中向量的个数等于解空间的维数。
步骤 6/7
目标：写出非齐次方程的通解
非齐次方程的通解等于一个特解加上齐次方程的通解。取特解 $\alpha_1$，齐次通解为 $k(\alpha_2 - \alpha_1)$，$k \in \mathbb{R}$。故通解为：
$$\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + k \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}, \quad k \in \mathbb{R}.$$
公式：非齐次方程通解 = 特解 + 齐次方程通解
提示：注意特解可以取 $\alpha_1$ 或 $\alpha_2$，结果形式不同但表示同一解集。
步骤 7/7
目标：总结答案
系数矩阵的秩为 $2$，方程组的通解为 $\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + k \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}$，$k \in \mathbb{R}$。
提示：最终答案需明确参数范围。
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