南京信息工程大学 2021年高等代数第0题
📝 题目
1．设 $A$ 是一个 $m \times n$ 实矩阵，$A^{T}$ 是 $A$ 的转置矩阵。证明：若 $A$ 的秋 $r(A)=n<m$ ，则 $A^{T} A$ 可逆．（本题 14 分）
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：明确要证明的目标
要证明 $A^T A$ 可逆，即证明 $A^T A$ 是 $n \times n$ 满秩矩阵，或者说 $A^T A$ 的行列式不为零，或者 $A^T A$ 的列向量线性无关。由于 $A$ 是实矩阵，我们可以通过证明齐次线性方程组 $(A^T A)x = 0$ 只有零解来证明可逆。
提示：注意：可逆的等价条件包括满秩、行列式非零、只有零解等，选择合适的方法。
步骤 2/6
目标：假设 $(A^T A)x = 0$
设 $x \in \mathbb{R}^n$ 满足 $(A^T A)x = 0$。我们的目标是证明 $x = 0$。
提示：注意：$x$ 是 $n$ 维列向量。
步骤 3/6
目标：左乘 $x^T$ 得到 $\|Ax\|^2 = 0$
在等式 $(A^T A)x = 0$ 两边左乘 $x^T$，得到 $x^T (A^T A)x = 0$。利用矩阵乘法的结合律，有 $(x^T A^T)(A x) = (Ax)^T (Ax) = 0$。而 $(Ax)^T (Ax)$ 是向量 $Ax$ 的内积，即 $\|Ax\|^2$，所以 $\|Ax\|^2 = 0$。
公式：$x^T (A^T A)x = (Ax)^T (Ax) = \|Ax\|^2$
提示：注意：$x^T A^T = (Ax)^T$，因为转置的性质。
步骤 4/6
目标：由范数为零推出 $Ax = 0$
由于 $\|Ax\|^2 = 0$，而范数的平方为零当且仅当向量本身为零向量，所以 $Ax = 0$。这里 $Ax$ 是 $m$ 维列向量。
公式：$\|v\| = 0 \iff v = 0$
提示：注意：实向量的欧几里得范数非负，且只有零向量的范数为零。
步骤 5/6
目标：利用 $A$ 的秩条件推出 $x = 0$
已知 $r(A) = n$，且 $A$ 是 $m \times n$ 矩阵，$n < m$。这意味着 $A$ 的列向量线性无关。齐次线性方程组 $Ax = 0$ 中，$x$ 是系数，由于列向量线性无关，该方程组只有零解，即 $x = 0$。
提示：注意：$r(A)=n$ 表示列满秩，所以 $Ax=0$ 只有零解。
步骤 6/6
目标：得出结论
因此，$(A^T A)x = 0$ 只有零解，即 $A^T A$ 的列向量线性无关，所以 $A^T A$ 可逆。
提示：注意：可逆矩阵必须是方阵，这里 $A^T A$ 是 $n \times n$ 方阵，满足条件。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。