南京信息工程大学 2021年高等代数第0题
📝 题目
3．设 $A$ 是 $s \times n$ 矩阵，证明：$r\left(E_{n}-A^{T} A\right)-r\left(E_{s}-A A^{T}\right)=n-s$ ．（本题 10 分）
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：构造分块矩阵
构造分块矩阵 $\begin{pmatrix} E_n & A^T \\ A & E_s \end{pmatrix}$，其中 $E_n$ 和 $E_s$ 分别为 $n$ 阶和 $s$ 阶单位矩阵。
提示：注意矩阵 $A$ 是 $s \times n$ 的，因此 $A^T$ 是 $n \times s$ 的，分块矩阵的维度要匹配。
步骤 2/5
目标：第一种变换：先进行行变换，再进行列变换
将第一行左乘 $-A$ 加到第二行，得到 $\begin{pmatrix} E_n & A^T \\ 0 & E_s - A A^T \end{pmatrix}$。再将第一列右乘 $-A^T$ 加到第二列，得到 $\begin{pmatrix} E_n & 0 \\ 0 & E_s - A A^T \end{pmatrix}$。因此原矩阵的秩等于 $n + r(E_s - A A^T)$。
公式：$\begin{pmatrix} E_n & A^T \\ A & E_s \end{pmatrix} \xrightarrow{\text{行变换}} \begin{pmatrix} E_n & A^T \\ 0 & E_s - A A^T \end{pmatrix} \xrightarrow{\text{列变换}} \begin{pmatrix} E_n & 0 \\ 0 & E_s - A A^T \end{pmatrix}$
提示：行变换是左乘初等矩阵，列变换是右乘初等矩阵。注意变换的顺序和矩阵乘法规则。
步骤 3/5
目标：第二种变换：先进行列变换，再进行行变换
将第一列右乘 $-A^T$ 加到第二列，得到 $\begin{pmatrix} E_n & 0 \\ A & E_s - A A^T \end{pmatrix}$。再将第二行左乘 $-A$ 加到第一行，得到 $\begin{pmatrix} E_n - A^T A & 0 \\ A & E_s - A A^T \end{pmatrix}$。最后将第二列右乘 $-A$ 加到第一列，得到 $\begin{pmatrix} E_n - A^T A & 0 \\ 0 & E_s - A A^T \end{pmatrix}$。因此原矩阵的秩等于 $r(E_n - A^T A) + r(E_s - A A^T)$。
公式：$\begin{pmatrix} E_n & A^T \\ A & E_s \end{pmatrix} \xrightarrow{\text{列变换}} \begin{pmatrix} E_n & 0 \\ A & E_s - A A^T \end{pmatrix} \xrightarrow{\text{行变换}} \begin{pmatrix} E_n - A^T A & 0 \\ A & E_s - A A^T \end{pmatrix} \xrightarrow{\text{列变换}} \begin{pmatrix} E_n - A^T A & 0 \\ 0 & E_s - A A^T \end{pmatrix}$
提示：注意第二次列变换是右乘 $-A$，因为要消去左下角的 $A$。
步骤 4/5
目标：比较两种结果，得出等式
由两种变换得到的秩相等，有 $n + r(E_s - A A^T) = r(E_n - A^T A) + r(E_s - A A^T)$。
公式：$n + r(E_s - A A^T) = r(E_n - A^T A) + r(E_s - A A^T)$
提示：注意秩的加法：分块对角矩阵的秩等于各块秩之和。
步骤 5/5
目标：化简等式，得到结论
两边同时减去 $r(E_s - A A^T)$，得到 $r(E_n - A^T A) - r(E_s - A A^T) = n - s$。
公式：$r(E_n - A^T A) - r(E_s - A A^T) = n - s$
提示：注意 $n$ 和 $s$ 是矩阵的维数，不要混淆。
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