南京信息工程大学 2021年高等代数第0题
📝 题目
1．计算 $n$ 阶行列式 $\left|\begin{array}{ccccc}0 & 2 & 3 & \cdots & n \\ 1 & 0 & 3 & \cdots & n \\ 1 & 2 & 0 & \cdots & n \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & 2 & 3 & \cdots & 0\end{array}\right|$（本题14分）
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：列变换：将第2至n列加到第1列
将第2,3,…,n列都加到第1列，得到新行列式：
\[
D_n = \begin{vmatrix}
\sum_{k=2}^n k & 2 & 3 & \cdots & n \\
\sum_{k=2}^n k & 0 & 3 & \cdots & n \\
\sum_{k=2}^n k & 2 & 0 & \cdots & n \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
\sum_{k=2}^n k & 2 & 3 & \cdots & 0
\end{vmatrix}.
\]
公式：行列式的列加法性质：将一列的倍数加到另一列，行列式值不变。
提示：注意列变换时，第1列元素变为所有列元素之和（除第1列自身外），即$S = \sum_{k=2}^n k$。
步骤 2/5
目标：提取公因子S
令$S = \sum_{k=2}^n k = \frac{n(n+1)}{2} - 1$。第1列所有元素均为S，提取公因子S：
\[
D_n = S \begin{vmatrix}
1 & 2 & 3 & \cdots & n \\
1 & 0 & 3 & \cdots & n \\
1 & 2 & 0 & \cdots & n \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
1 & 2 & 3 & \cdots & 0
\end{vmatrix}.
\]
公式：行列式提取公因子：若某行（列）有公因子，可提出。
提示：注意S的计算：$S = 2+3+\cdots+n = \frac{n(n+1)}{2} - 1$。
步骤 3/5
目标：行变换：将第1行乘以-1加到其余各行
将第1行乘以-1分别加到第2,3,…,n行，得到：
\[
D_n = S \begin{vmatrix}
1 & 2 & 3 & \cdots & n \\
0 & -2 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 0 & -3 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \cdots & -n
\end{vmatrix}.
\]
公式：行列式的行减法性质：将一行的倍数加到另一行，行列式值不变。
提示：注意第i行（i≥2）第j列（j≥2）的元素：当i=j时，原为0，减去第1行对应元素后变为 -i；当i≠j时，原为j，减去第1行对应元素j后变为0。
步骤 4/5
目标：计算上三角行列式
该行列式是上三角行列式，对角线上元素为$1, -2, -3, \dots, -n$，因此行列式值为对角线上元素的乘积：
\[
D_n = S \cdot 1 \cdot (-2) \cdot (-3) \cdots (-n) = S \cdot (-1)^{n-1} \cdot n!.
\]
公式：上三角行列式的值等于主对角线上元素的乘积。
提示：注意符号：从-2到-n共n-1个负数，所以符号为$(-1)^{n-1}$。
步骤 5/5
目标：代入S并化简
代入$S = \frac{n(n+1)}{2} - 1 = \frac{n^2+n-2}{2} = \frac{(n-1)(n+2)}{2}$，得：
\[
D_n = \frac{(n-1)(n+2)}{2} \cdot (-1)^{n-1} \cdot n!.
\]
因此，
\[
\boxed{D_n = (-1)^{n-1} \frac{n! (n-1)(n+2)}{2}}.
\]
公式：无
提示：化简S时注意因式分解：$n^2+n-2 = (n-1)(n+2)$。
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