南京信息工程大学 2021年高等代数第0题

已知 $A^{2}\alpha + A\alpha - 6\alpha = 0$，提取公因子得 $(A^{2}+A-6I)\alpha = 0$，其中 $I$ 为单位矩阵，$\alpha$ 为非零向量。

将矩阵多项式 $A^{2}+A-6I$ 因式分解为 $(A-2I)(A+3I)$，因为 $(A-2I)(A+3I) = A^{2}+3A-2A-6I = A^{2}+A-6I$。于是条件化为 $(A-2I)(A+3I)\alpha = 0$。

若 $(A+3I)\alpha \neq 0$，则令 $\beta = (A+3I)\alpha$，有 $(A-2I)\beta = 0$，即 $A\beta = 2\beta$，故 $\beta$ 是 $A$ 对应于特征值 $2$ 的特征向量。类似地，若 $(A-2I)\alpha \neq 0$，则 $\gamma = (A-2I)\alpha$ 是 $A$ 对应于特征值 $-3$ 的特征向量。由于 $\alpha$ 非零，$(A+3I)\alpha$ 和 $(A-2I)\alpha$ 至少有一个非零（否则 $\alpha$ 同时属于两个不同特征值的特征空间，矛盾），因此 $A$ 有特征值 $2$ 和 $-3$。

通常此类题目隐含 $\alpha$ 是 $A$ 的特征向量。设 $A\alpha = \lambda \alpha$，代入原式得 $\lambda^{2}\alpha + \lambda\alpha - 6\alpha = 0$，即 $(\lambda^{2}+\lambda-6)\alpha = 0$。由于 $\alpha \neq 0$，有 $\lambda^{2}+\lambda-6=0$，解得 $\lambda = 2$ 或 $\lambda = -3$。因此 $\alpha$ 是特征值 $2$ 或 $-3$ 对应的特征向量。

假设 $A$ 是 $2$ 阶矩阵（题目未明确阶数，但通常如此），且 $\alpha$ 是特征向量。取 $P = (\alpha, \beta)$，其中 $\beta$ 是与 $\alpha$ 线性无关的另一个特征向量，对应于另一个特征值。例如，若 $\alpha$ 对应 $2$，则 $\beta$ 对应 $-3$；反之亦然。则 $P^{-1}AP = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & -3 \end{pmatrix}$ 或 $\begin{pmatrix} -3 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$。

由条件 $(A-2I)(A+3I)\alpha = 0$ 可知，$A$ 的最小多项式 $m(\lambda)$ 整除 $\lambda^{2}+\lambda-6 = (\lambda-2)(\lambda+3)$，且 $\alpha$ 非零保证了 $m(\lambda)$ 无重根（否则 $\alpha$ 可能被零化但特征值重数更高）。因此 $m(\lambda)$ 无重根，故 $A$ 可对角化。

因此，$P^{-1}AP = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & -3 \end{pmatrix}$ 或 $\begin{pmatrix} -3 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$，且 $A$ 可对角化。