南京信息工程大学 2021年高等代数第0题
📝 题目
2．已知经过一个正交变换 $X=P Y$ 把二次型
$$
f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=2 x_{1}^{2}+a x_{2}^{2}+2 x_{3}^{2}+2 b x_{1} x_{2}+2 x_{1} x_{3}+2 x_{2} x_{3}
$$
化为标准形 $f=y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+4 y_{3}^{2}$ ，求 $a, b$ 的值及正交矩阵 $P$ 。（本题 16 分）
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：写出二次型矩阵并利用特征值条件
设二次型矩阵为 $A = \begin{pmatrix} 2 & b & 1 \\ b & a & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}$，标准形矩阵为 $\Lambda = \operatorname{diag}(1,1,4)$。由于正交变换，$A$ 的特征值为 $1,1,4$。
提示：注意正交变换下特征值不变。
步骤 2/7
目标：利用迹求参数a
特征值之和等于矩阵的迹：$2 + a + 2 = 1 + 1 + 4$，解得 $a = 2$。
公式：$\operatorname{tr}(A) = \sum \lambda_i$
提示：迹是对角线元素之和，不要漏掉。
步骤 3/7
目标：利用行列式求参数b
特征值之积等于行列式：$\det(A) = 1 \times 1 \times 4 = 4$。计算 $\det(A) = \begin{vmatrix} 2 & b & 1 \\ b & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{vmatrix} = 2(4-1) - b(2b-1) + 1(b-2) = 6 - 2b^2 + b + b - 2 = 4 - 2b^2 + 2b$。令其等于4，得 $-2b^2 + 2b = 0$，即 $b(b-1)=0$，故 $b=0$ 或 $b=1$。
公式：$\det(A) = \prod \lambda_i$
提示：行列式计算要仔细，注意符号。
步骤 4/7
目标：检验b的取值
当 $b=0$ 时，$A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}$，特征多项式为 $\det(\lambda I - A) = (\lambda-2)(\lambda^2-4\lambda+2)$，特征值为 $2, 2\pm\sqrt{2}$，与 $1,1,4$ 不符，故 $b=0$ 舍去。当 $b=1$ 时，$A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}$，特征多项式为 $(\lambda-1)^2(\lambda-4)$，特征值为 $1,1,4$，符合。故 $a=2, b=1$。
提示：必须验证特征值是否匹配，否则可能多解。
步骤 5/7
目标：求特征值4的特征向量
解 $(A-4I)\xi=0$：$\begin{pmatrix} -2 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & 1 \\ 1 & 1 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = 0$，得 $x_1=x_2=x_3$，单位化得 $\xi_1 = \frac{1}{\sqrt{3}}(1,1,1)^T$。
提示：解齐次线性方程组时注意系数矩阵的秩。
步骤 6/7
目标：求特征值1的两个正交特征向量
解 $(A-I)\xi=0$：$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = 0$，得 $x_1+x_2+x_3=0$。取两个正交的单位向量：令 $\xi_2 = \frac{1}{\sqrt{2}}(1,-1,0)^T$，$\xi_3$ 与 $\xi_1,\xi_2$ 正交且满足 $x_1+x_2+x_3=0$，可取 $(1,1,-2)^T$，单位化得 $\xi_3 = \frac{1}{\sqrt{6}}(1,1,-2)^T$。
提示：注意特征向量需正交化，且与特征值4的特征向量正交。
步骤 7/7
目标：构造正交矩阵P
将三个单位正交特征向量按列排列：$P = (\xi_1, \xi_2, \xi_3) = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{6}} \\ \frac{1}{\sqrt{3}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{6}} \\ \frac{1}{\sqrt{3}} & 0 & -\frac{2}{\sqrt{6}} \end{pmatrix}$。
提示：正交矩阵的列向量是单位正交的，注意顺序对应特征值。
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