南京信息工程大学 2021年高等代数第0题
📝 题目
3．设 $A=\left(\begin{array}{cccc}-1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{cccc}1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & -1\end{array}\right)$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：确认矩阵乘法定义
矩阵乘法 $AB$ 要求 $A$ 的列数等于 $B$ 的行数。这里 $A$ 和 $B$ 都是 $4 \times 4$ 矩阵，因此 $AB$ 存在且为 $4 \times 4$ 矩阵。$AB$ 的第 $i$ 行第 $j$ 列元素等于 $A$ 的第 $i$ 行向量与 $B$ 的第 $j$ 列向量的点积。
公式：$(AB)_{ij} = \sum_{k=1}^4 A_{ik} B_{kj}$
提示：注意矩阵乘法不满足交换律，计算时需区分左右乘。
步骤 2/6
目标：计算第一行元素
取 $A$ 的第一行 $(-1, 0, 0, 0)$ 分别与 $B$ 的各列点乘：
- 第1列：$(-1)\cdot1 + 0\cdot0 + 0\cdot0 + 0\cdot0 = -1$
- 第2列：$(-1)\cdot(-1) + 0\cdot1 + 0\cdot0 + 0\cdot0 = 1$
- 第3列：$(-1)\cdot0 + 0\cdot0 + 0\cdot(-1) + 0\cdot0 = 0$
- 第4列：$(-1)\cdot0 + 0\cdot0 + 0\cdot(-1) + 0\cdot(-1) = 0$
得到第一行 $(-1, 1, 0, 0)$。
提示：注意 $A$ 的第一行只有第一个非零，计算时只需关注 $B$ 的第一行元素。
步骤 3/6
目标：计算第二行元素
取 $A$ 的第二行 $(0, 1, 0, 0)$ 分别与 $B$ 的各列点乘：
- 第1列：$0\cdot1 + 1\cdot0 + 0\cdot0 + 0\cdot0 = 0$
- 第2列：$0\cdot(-1) + 1\cdot1 + 0\cdot0 + 0\cdot0 = 1$
- 第3列：$0\cdot0 + 1\cdot0 + 0\cdot(-1) + 0\cdot0 = 0$
- 第4列：$0\cdot0 + 1\cdot0 + 0\cdot(-1) + 0\cdot(-1) = 0$
得到第二行 $(0, 1, 0, 0)$。
提示：注意 $A$ 的第二行只有第二个元素非零，计算时只需取 $B$ 的第二行。
步骤 4/6
目标：计算第三行元素
取 $A$ 的第三行 $(0, 1, 1, 0)$ 分别与 $B$ 的各列点乘：
- 第1列：$0\cdot1 + 1\cdot0 + 1\cdot0 + 0\cdot0 = 0$
- 第2列：$0\cdot(-1) + 1\cdot1 + 1\cdot0 + 0\cdot0 = 1$
- 第3列：$0\cdot0 + 1\cdot0 + 1\cdot(-1) + 0\cdot0 = -1$
- 第4列：$0\cdot0 + 1\cdot0 + 1\cdot(-1) + 0\cdot(-1) = -1$
得到第三行 $(0, 1, -1, -1)$。
提示：注意 $A$ 的第三行有两个非零元素，计算时需同时考虑 $B$ 的第二行和第三行。
步骤 5/6
目标：计算第四行元素
取 $A$ 的第四行 $(0, 0, 0, -1)$ 分别与 $B$ 的各列点乘：
- 第1列：$0\cdot1 + 0\cdot0 + 0\cdot0 + (-1)\cdot0 = 0$
- 第2列：$0\cdot(-1) + 0\cdot1 + 0\cdot0 + (-1)\cdot0 = 0$
- 第3列：$0\cdot0 + 0\cdot0 + 0\cdot(-1) + (-1)\cdot0 = 0$
- 第4列：$0\cdot0 + 0\cdot0 + 0\cdot(-1) + (-1)\cdot(-1) = 1$
得到第四行 $(0, 0, 0, 1)$。
提示：注意 $A$ 的第四行只有最后一个非零，计算时只需取 $B$ 的第四行。
步骤 6/6
目标：组合结果得到最终矩阵
将计算出的各行组合成矩阵：
$$AB = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.$$
提示：检查矩阵维度是否正确，确保每个元素计算无误。
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