南京信息工程大学 2021年高等代数第0题
📝 题目
2）指出 $A$ 与 $B$ 是否相似，并说明理由．（本题 18 分）
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：写出矩阵A和B
给定矩阵 $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$，$B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$。
提示：注意矩阵的书写格式，确保元素位置正确。
步骤 2/7
目标：计算A的特征多项式
计算 $\det(\lambda I - A) = \begin{vmatrix} \lambda-1 & -2 \\ 0 & \lambda-1 \end{vmatrix} = (\lambda-1)^2$。
公式：$\det(\lambda I - A) = (\lambda-1)^2$
提示：上三角矩阵的行列式等于对角线元素乘积。
步骤 3/7
目标：计算B的特征多项式
计算 $\det(\lambda I - B) = \begin{vmatrix} \lambda-1 & 0 \\ 0 & \lambda-1 \end{vmatrix} = (\lambda-1)^2$。
公式：$\det(\lambda I - B) = (\lambda-1)^2$
提示：对角矩阵的行列式等于对角线元素乘积。
步骤 4/7
目标：确定特征值及代数重数
由特征多项式可知，A和B的特征值均为 $\lambda = 1$，代数重数均为2。
提示：代数重数是特征根的重数。
步骤 5/7
目标：计算A的几何重数
解齐次线性方程组 $(I - A)x = 0$，即 $\begin{pmatrix} 0 & -2 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = 0$，得 $-2x_2 = 0$，所以 $x_2 = 0$，$x_1$ 自由。基础解系为 $\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$，几何重数为1。
提示：几何重数等于特征空间的维数，即 $(\lambda I - A)$ 的零空间维数。
步骤 6/7
目标：计算B的几何重数
解 $(I - B)x = 0$，即 $\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = 0$，任意向量都是解，基础解系可取 $\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$，几何重数为2。
提示：零矩阵的零空间是整个空间。
步骤 7/7
目标：判断相似性
A的几何重数（1）小于代数重数（2），故A不可对角化；B已经是对角矩阵，可对角化。相似的必要条件是相同的特征值且每个特征值的代数重数等于几何重数，但A不满足，所以A与B不相似。
提示：两个矩阵相似则它们有相同的Jordan标准形，而A的Jordan标准形不是对角矩阵。
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