南京信息工程大学 2021年高等代数第0题
📝 题目
4．$V=\left\{\left(x_{1}, \cdots, x_{n-1}, x_{n}\right) \mid x_{i} \in P\right\}$ 是 $P$ 上的 $n$ 维向量空间，定义：
$$
\sigma\left(x_{1}, \cdots, x_{n-1}, x_{n}\right)=\left(0, x_{1}, \cdots, x_{n-1}\right)
$$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：理解线性变换的定义
给定向量空间 $V = P^n$，线性变换 $\sigma: V \to V$ 定义为：
$$\sigma(x_1, x_2, \dots, x_{n-1}, x_n) = (0, x_1, x_2, \dots, x_{n-1}).$$
提示：注意变换后第一个分量变为0，其余分量依次右移。
步骤 2/7
目标：求线性变换的矩阵表示
取 $V$ 的标准基 $\{e_1, e_2, \dots, e_n\}$，计算 $\sigma$ 在每个基向量上的作用：
- $\sigma(e_1) = e_2$
- $\sigma(e_2) = e_3$
- $\dots$
- $\sigma(e_{n-1}) = e_n$
- $\sigma(e_n) = 0$
因此，$\sigma$ 在标准基下的矩阵 $A$ 为：
$$A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \dots & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \dots & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}.$$
公式：$\sigma(e_i) = e_{i+1}$ 对于 $i=1,\dots,n-1$，$\sigma(e_n)=0$
提示：注意矩阵的列对应基向量的像的坐标。
步骤 3/7
目标：求特征多项式
特征多项式 $f(\lambda) = \det(\lambda I - A)$。计算：
$$\lambda I - A = \begin{pmatrix} \lambda & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ -1 & \lambda & 0 & \dots & 0 & 0 \\ 0 & -1 & \lambda & \dots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \dots & -1 & \lambda & 0 \\ 0 & 0 & \dots & 0 & -1 & \lambda \end{pmatrix}.$$
这是一个下三角矩阵，行列式等于对角线上元素的乘积，即 $\lambda^n$。所以特征多项式为 $f(\lambda) = \lambda^n$。
公式：$\det(\lambda I - A) = \lambda^n$
提示：下三角矩阵的行列式直接等于对角线元素乘积。
步骤 4/7
目标：求特征值
特征多项式 $\lambda^n = 0$ 的根是 $\lambda = 0$（$n$ 重根）。因此，$\sigma$ 的特征值只有0。
提示：特征值即特征多项式的根。
步骤 5/7
目标：求特征向量
解齐次线性方程组 $(0I - A)X = 0$，即 $AX = 0$。
$$A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ 1 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \dots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \dots & 1 & 0 \end{pmatrix},$$
方程 $AX=0$ 给出：
- 第二行：$x_1 = 0$
- 第三行：$x_2 = 0$
- $\dots$
- 第 $n$ 行：$x_{n-1} = 0$
第一行给出 $0=0$，所以 $x_n$ 自由。因此解空间为 $\{ (0,0,\dots,0,x_n) \mid x_n \in P \}$，即由 $e_n$ 张成的1维子空间。所以特征值0的几何重数为1。
提示：注意解方程组时，第一行是恒等式，不提供约束。
步骤 6/7
目标：求最小多项式
由于 $A$ 是幂零矩阵，且 $A^{n-1} \neq 0$（因为 $A^{n-1}e_1 = e_n \neq 0$），而 $A^n = 0$，所以最小多项式为 $\lambda^n$。
公式：$m(\lambda) = \lambda^n$
提示：最小多项式是使得 $m(A)=0$ 的次数最低的首一多项式。
步骤 7/7
目标：判断是否可对角化
若 $\sigma$ 可对角化，则特征值0的几何重数应等于代数重数 $n$，但几何重数为1，所以 $\sigma$ 不可对角化。
提示：可对角化的充要条件是每个特征值的几何重数等于代数重数。
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