南京信息工程大学 2021年高等代数第0题

设 $V$ 是域 $F$ 上的向量空间，$\sigma: V \to V$ 是线性变换。定义 $\sigma V = \{\sigma(v) \mid v \in V\}$ 为 $\sigma$ 的像，$\sigma^{-1}(0) = \{v \in V \mid \sigma(v)=0\}$ 为 $\sigma$ 的核。我们需要判断 $V$ 是否为 $\sigma V$ 与 $\sigma^{-1}(0)$ 的直和，即 $V = \sigma V \oplus \sigma^{-1}(0)$。

两个子空间 $U$ 和 $W$ 的直和 $U \oplus W$ 要求 $V = U + W$ 且 $U \cap W = \{0\}$。因此我们需要检查 $\sigma V + \sigma^{-1}(0) = V$ 和 $\sigma V \cap \sigma^{-1}(0) = \{0\}$ 是否成立。

考虑 $\sigma V \cap \sigma^{-1}(0)$。若 $v \in \sigma V \cap \sigma^{-1}(0)$，则存在 $u \in V$ 使得 $v = \sigma(u)$ 且 $\sigma(v)=0$。于是 $\sigma^2(u)=0$。但 $\sigma^2(u)=0$ 不一定推出 $\sigma(u)=0$，因此 $v$ 不一定为零。例如，取 $V = \mathbb{R}^2$，$\sigma(x,y) = (x-y, x-y)$，则 $\sigma V = \{(t,t)\}$，$\sigma^{-1}(0) = \{(x,y) \mid x=y\}$，两者相等，交集非零。所以一般情况下 $\sigma V \cap \sigma^{-1}(0) \neq \{0\}$。

考虑 $\sigma V + \sigma^{-1}(0)$。对于任意 $v \in V$，能否写成 $v = \sigma(u) + w$，其中 $\sigma(w)=0$？这等价于存在 $u \in V$ 使得 $v - \sigma(u) \in \sigma^{-1}(0)$，即 $\sigma(v - \sigma(u)) = 0$，即 $\sigma(v) = \sigma^2(u)$。因此，$\sigma V + \sigma^{-1}(0) = V$ 当且仅当对任意 $v \in V$，存在 $u \in V$ 使得 $\sigma(v) = \sigma^2(u)$。这要求 $\sigma(V) \subseteq \sigma^2(V)$，即 $\sigma$ 的像包含在 $\sigma^2$ 的像中。一般情况下不一定成立。

实际上，$V = \sigma V \oplus \sigma^{-1}(0)$ 当且仅当 $\sigma$ 是幂等变换，即 $\sigma^2 = \sigma$。证明：若 $\sigma^2 = \sigma$，则对任意 $v \in V$，$v = \sigma(v) + (v - \sigma(v))$，且 $\sigma(v - \sigma(v)) = \sigma(v) - \sigma^2(v) = 0$，所以 $v \in \sigma V + \sigma^{-1}(0)$。同时，若 $v \in \sigma V \cap \sigma^{-1}(0)$，则 $v = \sigma(u)$ 且 $\sigma(v)=0$，于是 $0 = \sigma(v) = \sigma^2(u) = \sigma(u) = v$，故交为零。反之，若 $V = \sigma V \oplus \sigma^{-1}(0)$，则对任意 $v \in V$，$\sigma(v) \in \sigma V$，且 $\sigma(v) - \sigma^2(v) = \sigma(v - \sigma(v))$。由于 $v - \sigma(v) \in \sigma^{-1}(0)$，所以 $\sigma(v - \sigma(v)) = 0$，即 $\sigma(v) = \sigma^2(v)$，故 $\sigma^2 = \sigma$。

因此，$V$ 是 $\sigma V$ 与 $\sigma^{-1}(0)$ 的直和当且仅当 $\sigma$ 是幂等变换。题目未给出 $\sigma$ 的具体性质，故一般情况下结论不成立。