南京信息工程大学 2021年高等代数第0题

由于 $\alpha \neq 0$ 不是 $A$ 的特征向量，所以 $A\alpha$ 与 $\alpha$ 线性无关，从而 $P = (\alpha, A\alpha)$ 的列向量线性无关，故 $P$ 可逆。

令 $P = (\alpha, A\alpha)$，则 $P$ 可逆。设 $A$ 在基 $\alpha, A\alpha$ 下的矩阵为 $B$，即满足 $AP = PB$。

由于 $AP$ 的第二列为 $A(A\alpha) = A^2\alpha$，而 $PB$ 的第二列为 $P$ 乘以 $B$ 的第二列。设 $B$ 的第二列为 $(b_{12}, b_{22})^T$，则 $P \begin{pmatrix} b_{12} \\ b_{22} \end{pmatrix} = b_{12}\alpha + b_{22}A\alpha$。但另一方面，$A\alpha$ 本身是 $P$ 的第二列，所以 $A\alpha = 0\cdot \alpha + 1\cdot A\alpha$，因此 $B$ 的第二列为 $(0,1)^T$。

设 $A^2\alpha = c\alpha + d A\alpha$，则 $AP$ 的第一列为 $A\alpha = 0\cdot \alpha + 1\cdot A\alpha$，但注意：$AP$ 的第一列是 $A$ 乘以 $P$ 的第一列，即 $A\alpha$，而 $PB$ 的第一列是 $P$ 乘以 $B$ 的第一列。设 $B$ 的第一列为 $(b_{11}, b_{21})^T$，则 $P \begin{pmatrix} b_{11} \\ b_{21} \end{pmatrix} = b_{11}\alpha + b_{21}A\alpha$。由于 $A\alpha$ 已经表示为 $0\cdot \alpha + 1\cdot A\alpha$，所以 $b_{11}=0, b_{21}=1$？不对，这里混淆了。实际上，$AP$ 的第一列是 $A\alpha$，而 $PB$ 的第一列是 $b_{11}\alpha + b_{21}A\alpha$，所以 $b_{11}=0, b_{21}=1$。但这样第一列也是 $(0,1)^T$，与第二列相同，这不可能。错误在于：$AP$ 的第一列是 $A$ 乘以 $P$ 的第一列，即 $A\alpha$，而 $PB$ 的第一列是 $P$ 乘以 $B$ 的第一列。所以 $A\alpha = b_{11}\alpha + b_{21}A\alpha$，因此 $b_{11}=0, b_{21}=1$。但这样 $B$ 的第一列也是 $(0,1)^T$，那么 $B$ 就是 $\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$，这显然不对。实际上，$AP$ 的第一列是 $A\alpha$，但 $AP$ 的第二列是 $A(A\alpha)=A^2\alpha$。所以 $B$ 的第一列对应 $A\alpha$ 的坐标，第二列对应 $A^2\alpha$ 的坐标。因此，$B$ 的第一列是 $(0,1)^T$，第二列是 $(c,d)^T$，其中 $A^2\alpha = c\alpha + d A\alpha$。所以 $B = \begin{pmatrix} 0 & c \\ 1 & d \end{pmatrix}$。

设 $A$ 的特征多项式为 $\lambda^2 - \operatorname{tr}(A)\lambda + \det(A) = 0$。由 Cayley-Hamilton 定理，$A^2 = \operatorname{tr}(A)A - \det(A)I$。两边右乘 $\alpha$ 得 $A^2\alpha = \operatorname{tr}(A)A\alpha - \det(A)\alpha$。因此 $c = -\det(A)$，$d = \operatorname{tr}(A)$。

因此，$B = \begin{pmatrix} 0 & -\det(A) \\ 1 & \operatorname{tr}(A) \end{pmatrix}$，即 $P^{-1}AP = \begin{pmatrix} 0 & -\det(A) \\ 1 & \operatorname{tr}(A) \end{pmatrix}$。