南京信息工程大学 2024年高等代数第0题
📝 题目
1．$f(x)=x^{5}+6 x^{4}+14 x^{3}+16 x^{2}+9 x+2$ ，则 $f(x)$ 的标准分解式为 $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：寻找有理根
根据有理根定理，多项式 $f(x)=x^5+6x^4+14x^3+16x^2+9x+2$ 的有理根可能为 $\pm1, \pm2$。计算 $f(-1)=(-1)^5+6(-1)^4+14(-1)^3+16(-1)^2+9(-1)+2=-1+6-14+16-9+2=0$，因此 $x=-1$ 是一个根，即 $x+1$ 是因子。
公式：有理根定理
提示：注意代入计算时符号正确，尤其是奇次幂的负号。
步骤 2/8
目标：第一次综合除法
用综合除法将 $f(x)$ 除以 $x+1$：
\[
\begin{array}{c|ccccc}
-1 & 1 & 6 & 14 & 16 & 9 & 2 \\
& & -1 & -5 & -9 & -7 & -2 \\
\hline
& 1 & 5 & 9 & 7 & 2 & 0 \\
\end{array}
\]
得到 $f(x)=(x+1)(x^4+5x^3+9x^2+7x+2)$。
提示：综合除法时注意系数对齐，余数为0说明整除。
步骤 3/8
目标：第二次寻找有理根
对四次式 $g(x)=x^4+5x^3+9x^2+7x+2$ 再次尝试 $x=-1$：$g(-1)=1-5+9-7+2=0$，所以 $x+1$ 又是因子。
提示：重复使用有理根定理，注意检查所有可能根。
步骤 4/8
目标：第二次综合除法
用综合除法将 $g(x)$ 除以 $x+1$：
\[
\begin{array}{c|cccc}
-1 & 1 & 5 & 9 & 7 & 2 \\
& & -1 & -4 & -5 & -2 \\
\hline
& 1 & 4 & 5 & 2 & 0 \\
\end{array}
\]
得到 $f(x)=(x+1)^2(x^3+4x^2+5x+2)$。
提示：注意综合除法时系数列表正确。
步骤 5/8
目标：第三次寻找有理根
对三次式 $h(x)=x^3+4x^2+5x+2$ 再次尝试 $x=-1$：$h(-1)=-1+4-5+2=0$，所以 $x+1$ 又是因子。
提示：继续检查相同的根是否重复出现。
步骤 6/8
目标：第三次综合除法
用综合除法将 $h(x)$ 除以 $x+1$：
\[
\begin{array}{c|ccc}
-1 & 1 & 4 & 5 & 2 \\
& & -1 & -3 & -2 \\
\hline
& 1 & 3 & 2 & 0 \\
\end{array}
\]
得到 $f(x)=(x+1)^3(x^2+3x+2)$。
提示：此时三次式已降为二次式。
步骤 7/8
目标：因式分解二次式
分解二次式 $x^2+3x+2$：寻找两个数乘积为2，和为3，即1和2，所以 $x^2+3x+2=(x+1)(x+2)$。因此 $f(x)=(x+1)^4(x+2)$。
公式：十字相乘法
提示：注意二次式分解时符号正确。
步骤 8/8
目标：写出标准分解式
最终得到 $f(x)$ 在有理数域上的标准分解式为 $f(x)=(x+1)^4(x+2)$。
提示：标准分解式要求因式分解到不可约多项式，这里一次因式已不可约。
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