南京信息工程大学 2024年高等代数第0题
📝 题目
2．$\left|a_{i j}\right|=\left|\begin{array}{cccc}3 & 0 & x & 1 \\ 2 & 0 & y & 0 \\ 0 & 1 & z & 0 \\ 2 & 0 & 1 & 2\end{array}\right|=672$ ，求 $6 A_{41}+2 A_{43}+6 A_{44}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：理解所求表达式的含义
所求表达式 $6A_{41}+2A_{43}+6A_{44}$ 中，$A_{4j}$ 是原行列式第4行第j列的代数余子式。根据代数余子式的定义，$A_{4j}=(-1)^{4+j}M_{4j}$，其中 $M_{4j}$ 是余子式。
提示：注意代数余子式与余子式的符号关系。
步骤 2/4
目标：利用行列式按行展开定理
行列式按第4行展开公式为：$|a_{ij}| = a_{41}A_{41}+a_{42}A_{42}+a_{43}A_{43}+a_{44}A_{44}$。所求表达式 $6A_{41}+2A_{43}+6A_{44}$ 可以看作是将原行列式第4行替换为 $(6,0,2,6)$ 后所得行列式的值，因为替换后行列式按第4行展开即为 $6A_{41}+0\cdot A_{42}+2A_{43}+6A_{44}$，且代数余子式不变。
公式：行列式按行展开定理
提示：代数余子式只依赖于去掉第4行和第j列后的子式，与第4行元素无关，因此替换后代数余子式不变。
步骤 3/4
目标：观察替换后行列式与原行列式的关系
原行列式第4行为 $(2,0,1,2)$，替换后第4行为 $(6,0,2,6)$，显然 $(6,0,2,6)=3\times(2,0,1,2)$。根据行列式的多重线性性质，将一行乘以常数 $k$，行列式值也乘以 $k$。因此替换后行列式的值等于 $3$ 乘以原行列式的值。
公式：行列式的多重线性性质
提示：注意：只有一行乘以常数，其他行不变时，行列式才乘以该常数。
步骤 4/4
目标：计算所求表达式的值
已知原行列式 $|a_{ij}|=672$，所以替换后行列式的值为 $3\times672=2016$。而所求表达式 $6A_{41}+2A_{43}+6A_{44}$ 正是替换后行列式的值，因此答案为 $2016$。
提示：无需计算原行列式中的 $x,y,z$，直接利用线性性质即可。
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