南京信息工程大学 2024年高等代数第0题
📝 题目
3．$A, B$ 为 $n$ 阶矩阵，$|A|=3,|B|=-2$ ，求 $\left|2 A^{*} B\right|=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：判断矩阵可逆性
已知 $|A|=3 \neq 0$，所以矩阵 $A$ 可逆。
提示：注意行列式非零是矩阵可逆的充要条件。
步骤 2/5
目标：计算伴随矩阵的行列式
对于可逆矩阵 $A$，有 $A^* = |A| A^{-1}$，则 $|A^*| = \left| |A| A^{-1} \right| = |A|^n |A^{-1}| = |A|^n \cdot \frac{1}{|A|} = |A|^{n-1} = 3^{n-1}$。
公式：$A^* = |A| A^{-1}$，$|A^{-1}| = \frac{1}{|A|}$
提示：注意 $|kA| = k^n |A|$，其中 $k$ 是常数，$n$ 是矩阵阶数。
步骤 3/5
目标：提取常数因子
计算 $|2A^*B|$，利用行列式乘法性质：$|2A^*B| = |2I_n| \cdot |A^*| \cdot |B| = 2^n |A^*| |B|$。
公式：$|kA| = k^n |A|$，$|AB| = |A||B|$
提示：注意 $2A^*B$ 中的 $2$ 是标量乘法，相当于每个元素乘以2，所以提取因子时是 $2^n$。
步骤 4/5
目标：代入已知行列式值
代入 $|A^*| = 3^{n-1}$ 和 $|B| = -2$，得 $|2A^*B| = 2^n \cdot 3^{n-1} \cdot (-2) = -2^{n+1} \cdot 3^{n-1}$。
提示：注意符号：$|B|$ 为负数，结果中负号不能遗漏。
步骤 5/5
目标：得出最终结果
因此，$\left|2 A^{*} B\right| = -2^{n+1} \cdot 3^{n-1}$。
提示：最终结果用 $n$ 表示，不要误以为 $n$ 是具体数值。
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