南京信息工程大学 2024年高等代数第0题

由于矩阵 $A$ 与 $B$ 相似，它们有相同的特征值。$B$ 是对角矩阵，特征值为 $2,2,z$。因此 $A$ 的特征值也应为 $2,2,z$。

计算 $A$ 的特征多项式 $\det(\lambda I - A)$。由于 $2$ 是 $A$ 的特征值，代入 $\lambda=2$ 得 $\det(2I - A)=0$。 $\det(2I - A) = \det\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ -2 & 2-x & 2 \\ -3 & -3 & 2-y \end{pmatrix}=0$。 计算行列式： $=1\cdot\det\begin{pmatrix}2-x & 2 \\ -3 & 2-y\end{pmatrix} -1\cdot\det\begin{pmatrix}-2 & 2 \\ -3 & 2-y\end{pmatrix} + (-1)\cdot\det\begin{pmatrix}-2 & 2-x \\ -3 & -3\end{pmatrix}$ $= (2-x)(2-y)+6 - [(-2)(2-y)+6] - [6 - (-3)(2-x)]$ $= (2-x)(2-y)+6 - (2y+2) - (12-3x)$ $= (2-x)(2-y)+3x-2y-8$ $= xy+x-4y-4$。 令其等于0得：$xy+x-4y-4=0$，即 $(x-4)(y+1)=0$。

因为 $A$ 与对角矩阵 $B$ 相似，所以 $A$ 可对角化。对于二重特征值 $2$，其几何重数必须等于代数重数2，即 $\operatorname{rank}(2I - A)=1$。 计算 $2I - A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ -2 & 2-x & 2 \\ -3 & -3 & 2-y \end{pmatrix}$。 秩为1意味着所有2阶子式为0。取前两行前两列的子式： $\det\begin{pmatrix}1 & 1 \\ -2 & 2-x\end{pmatrix} = (2-x)+2 = 4-x = 0$，解得 $x=4$。 代入 $(x-4)(y+1)=0$ 得 $y=-1$。

相似矩阵的迹相等。计算 $A$ 的迹：$\operatorname{tr}(A)=1+x+y=1+4-1=4$。 $B$ 的迹：$\operatorname{tr}(B)=2+2+z=4+z$。 由 $\operatorname{tr}(A)=\operatorname{tr}(B)$ 得 $4=4+z$，解得 $z=0$。

相似矩阵的行列式相等。计算 $A$ 的行列式： $\det(A)=\det\begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 2 & 4 & -2 \\ 3 & 3 & -1 \end{pmatrix}=1\cdot(4\cdot(-1)-(-2)\cdot3) - (-1)\cdot(2\cdot(-1)-(-2)\cdot3) + 1\cdot(2\cdot3-4\cdot3)$ $=1\cdot(-4+6) +1\cdot(-2+6) +1\cdot(6-12)=2+4-6=0$。 $\det(B)=2\cdot2\cdot z=4z$。 由 $\det(A)=\det(B)$ 得 $4z=0$，即 $z=0$，与迹的结果一致。