南京信息工程大学 2024年高等代数第0题
📝 题目
5．设 $\eta$ 为欧氏空间 $V$ 中的单位向量，已知 $\forall \alpha \in V, \sigma(\alpha)=\alpha-2(\eta, \alpha) \eta$ ，
$(\eta, \alpha)$ 为内积，求 $\sigma$ 在标准正交基 $\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \cdots, \varepsilon_{n}$ 下的矩阵 $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：理解变换定义和已知条件
已知 $\sigma(\alpha)=\alpha-2(\eta,\alpha)\eta$，其中 $\eta$ 是单位向量，即 $(\eta,\eta)=1$。$\varepsilon_1,\varepsilon_2,\dots,\varepsilon_n$ 是标准正交基。
公式：$\sigma(\alpha)=\alpha-2(\eta,\alpha)\eta$
提示：注意 $\eta$ 是单位向量，内积 $(\eta,\eta)=1$。
步骤 2/7
目标：将 $\eta$ 用标准正交基表示
设 $\eta = \sum_{i=1}^n a_i \varepsilon_i$，其中 $a_i = (\eta, \varepsilon_i)$。由于 $\eta$ 是单位向量，有 $\sum_{i=1}^n a_i^2 = 1$。
公式：$\eta = \sum_{i=1}^n a_i \varepsilon_i$, $\sum_{i=1}^n a_i^2 = 1$
提示：注意 $a_i$ 是 $\eta$ 在基向量上的坐标，且满足平方和为1。
步骤 3/7
目标：计算 $\sigma$ 在基向量上的作用
对任意基向量 $\varepsilon_j$，有 $(\eta, \varepsilon_j) = a_j$，因此 $\sigma(\varepsilon_j) = \varepsilon_j - 2a_j \eta$。
公式：$\sigma(\varepsilon_j) = \varepsilon_j - 2a_j \eta$
提示：注意内积 $(\eta, \varepsilon_j)$ 就是 $a_j$。
步骤 4/7
目标：将 $\sigma(\varepsilon_j)$ 用基线性表示
代入 $\eta$ 的表达式：$\sigma(\varepsilon_j) = \varepsilon_j - 2a_j \sum_{i=1}^n a_i \varepsilon_i = \varepsilon_j - 2a_j a_j \varepsilon_j - 2a_j \sum_{i \neq j} a_i \varepsilon_i = (1-2a_j^2)\varepsilon_j - 2a_j \sum_{i \neq j} a_i \varepsilon_i$。
公式：$\sigma(\varepsilon_j) = (1-2a_j^2)\varepsilon_j - 2a_j \sum_{i \neq j} a_i \varepsilon_i$
提示：注意将 $\eta$ 展开后，合并 $\varepsilon_j$ 的系数。
步骤 5/7
目标：写出变换矩阵的元素
由 $\sigma(\varepsilon_j) = \sum_{i=1}^n A_{ij} \varepsilon_i$，比较系数得：当 $i=j$ 时，$A_{jj}=1-2a_j^2$；当 $i \neq j$ 时，$A_{ij} = -2a_i a_j$。
公式：$A_{ij} = \begin{cases} 1-2a_i^2, & i=j \\ -2a_i a_j, & i \neq j \end{cases}$
提示：注意矩阵元素的下标：$A_{ij}$ 是第 $i$ 行第 $j$ 列，对应 $\varepsilon_j$ 的像中 $\varepsilon_i$ 的系数。
步骤 6/7
目标：用矩阵形式表示结果
将 $\eta$ 视为列向量 $\eta = (a_1, a_2, \dots, a_n)^T$，则 $\eta \eta^T$ 是 $n \times n$ 矩阵，其 $(i,j)$ 元为 $a_i a_j$。因此 $A = I - 2\eta \eta^T$，其中 $I$ 是单位矩阵。
公式：$A = I - 2\eta \eta^T$
提示：注意 $\eta \eta^T$ 是外积，矩阵元素为 $a_i a_j$。
步骤 7/7
目标：验证变换的性质
该变换是反射变换（Householder变换），满足 $\sigma^2 = \text{id}$，且 $\sigma$ 是正交变换。由于 $\eta$ 是单位向量，$A$ 是对称正交矩阵。
公式：$\sigma^2(\alpha)=\alpha$
提示：可以验证 $A^2=I$，且 $A^T=A$。
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