南京信息工程大学 2024年高等代数第0题
📝 题目
1．$A B=A+B, A, B$ 为 $n$ 阶矩阵．
（1）$A B=B A$ ；
（2）若 $A$ 可逆，证明 $B$ 可逆；
（3）若 $\alpha$ 为 $B$ 的特征向量，则 $\alpha$ 为 $A$ 的特征向量．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：推导AB=BA
由 $AB = A + B$ 得 $AB - A - B = 0$，即 $(A - I)(B - I) = I$，所以 $A - I$ 与 $B - I$ 互逆，从而 $(B - I)(A - I) = I$，即 $BA - A - B = 0$，故 $BA = A + B = AB$。
公式：$(A - I)(B - I) = I$
提示：注意矩阵乘法不满足交换律，但通过构造逆矩阵可证交换性。
步骤 2/6
目标：证明B可逆（A可逆时）
若 $A$ 可逆，由 $AB = A + B$ 得 $AB - B = A$，即 $(A - I)B = A$。左乘 $A^{-1}$ 得 $(I - A^{-1})B = I$，所以 $B$ 可逆且 $B^{-1} = I - A^{-1}$。
公式：$(A - I)B = A$
提示：注意左乘 $A^{-1}$ 时需保证 $A$ 可逆，且 $A - I$ 不一定可逆，但此处通过变形直接得到 $B$ 的逆。
步骤 3/6
目标：利用特征向量条件
设 $B\alpha = \lambda \alpha$，由 $AB = BA$ 得 $A(B\alpha) = B(A\alpha)$，即 $\lambda A\alpha = B(A\alpha)$。
公式：$\lambda A\alpha = B(A\alpha)$
提示：注意特征向量定义中 $\alpha \neq 0$。
步骤 4/6
目标：代入原始关系
由 $AB = A + B$ 得 $A(B\alpha) = A\alpha + B\alpha$，即 $\lambda A\alpha = A\alpha + \lambda \alpha$，整理得 $(\lambda - 1)A\alpha = \lambda \alpha$。
公式：$(\lambda - 1)A\alpha = \lambda \alpha$
提示：注意此处 $A\alpha$ 是向量，等式两边均为向量。
步骤 5/6
目标：讨论λ的取值
若 $\lambda = 1$，则 $B\alpha = \alpha$，代入 $AB = A + B$ 得 $A\alpha = A\alpha + \alpha$，即 $\alpha = 0$，矛盾，故 $\lambda \neq 1$。
提示：注意特征向量非零，因此 $\lambda = 1$ 导致矛盾。
步骤 6/6
目标：得出α是A的特征向量
由于 $\lambda \neq 1$，由 $(\lambda - 1)A\alpha = \lambda \alpha$ 得 $A\alpha = \frac{\lambda}{\lambda - 1}\alpha$，即 $\alpha$ 是 $A$ 的属于特征值 $\frac{\lambda}{\lambda - 1}$ 的特征向量。
公式：$A\alpha = \frac{\lambda}{\lambda - 1}\alpha$
提示：注意特征值表达式，确保分母不为零。
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