南京信息工程大学 2024年高等代数第0题
📝 题目
2．（10 分）$V_{1}$ 与 $V_{2}$ 是 $n$ 阶矩阵空间 $V$ 的子集，其中 $V_{1}$ 为对称矩阵集合，$V_{2}$ 为 $n$ 阶反对称矩阵的集合，证明：$V=V_{1} \oplus V_{2}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：定义子集并明确目标
设 $V$ 是 $n$ 阶矩阵空间，$V_1 = \{A \in V \mid A^T = A\}$ 为对称矩阵集合，$V_2 = \{A \in V \mid A^T = -A\}$ 为反对称矩阵集合。要证明 $V = V_1 \oplus V_2$，即证明 $V = V_1 + V_2$ 且 $V_1 \cap V_2 = \{0\}$。
提示：注意直和的定义：和空间且交为零。
步骤 2/7
目标：构造分解：任意矩阵拆成对称与反对称部分
对任意 $A \in V$，令 $B = \frac{1}{2}(A + A^T)$，$C = \frac{1}{2}(A - A^T)$。则 $A = B + C$。
公式：$B = \frac{1}{2}(A + A^T)$, $C = \frac{1}{2}(A - A^T)$
提示：注意系数 $\frac{1}{2}$ 不能遗漏，否则无法保证对称性。
步骤 3/7
目标：验证B是对称矩阵
计算 $B^T = \left(\frac{1}{2}(A + A^T)\right)^T = \frac{1}{2}(A^T + (A^T)^T) = \frac{1}{2}(A^T + A) = B$，所以 $B \in V_1$。
公式：$(A^T)^T = A$
提示：转置运算的线性性质。
步骤 4/7
目标：验证C是反对称矩阵
计算 $C^T = \left(\frac{1}{2}(A - A^T)\right)^T = \frac{1}{2}(A^T - (A^T)^T) = \frac{1}{2}(A^T - A) = -C$，所以 $C \in V_2$。
提示：注意符号变化：$A^T - A = -(A - A^T)$。
步骤 5/7
目标：证明和空间等于全空间
由 $A = B + C$ 且 $B \in V_1, C \in V_2$，得 $V \subseteq V_1 + V_2$。又 $V_1 + V_2 \subseteq V$ 显然，故 $V = V_1 + V_2$。
提示：注意包含关系的方向。
步骤 6/7
目标：证明交空间为零
设 $A \in V_1 \cap V_2$，则 $A^T = A$ 且 $A^T = -A$，从而 $A = -A$，即 $2A = 0$，所以 $A = 0$。因此 $V_1 \cap V_2 = \{0\}$。
提示：由 $A = -A$ 推出 $A=0$ 时，注意数域特征不为2。
步骤 7/7
目标：结论
由 $V = V_1 + V_2$ 且 $V_1 \cap V_2 = \{0\}$，根据直和的定义，得 $V = V_1 \oplus V_2$。
提示：直和符号 $\oplus$ 表示和空间且交为零。
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