南京信息工程大学 2024年高等代数第0题
📝 题目
3．（15 分）若 $f, g$ 为 $n$ 维欧氏空间 $V$ 上的线性变换，其中 $\eta_{1}, \eta_{2}, \cdots, \eta_{n}$ 为 $V$ 的一组基，$f, g$ 在该基下的矩阵分别为 $A, B$ ，证明：若对任意 $\alpha \in V$ ，有 $|f(\alpha)|=|g(\alpha)|$ ，则存在正定矩阵 $P$ ，使得 $A^{T} P A=B^{T} P B$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：将条件转化为内积等式
由条件 $|f(\alpha)| = |g(\alpha)|$ 对任意 $\alpha \in V$ 成立，两边平方得 $|f(\alpha)|^2 = |g(\alpha)|^2$。利用内积表示：$|f(\alpha)|^2 = \langle f(\alpha), f(\alpha) \rangle$，$|g(\alpha)|^2 = \langle g(\alpha), g(\alpha) \rangle$。因此 $\langle f(\alpha), f(\alpha) \rangle = \langle g(\alpha), g(\alpha) \rangle$，即 $\langle \alpha, f^* f(\alpha) \rangle = \langle \alpha, g^* g(\alpha) \rangle$，其中 $f^*, g^*$ 分别是 $f, g$ 的伴随变换。
公式：|f(\alpha)|^2 = \langle f(\alpha), f(\alpha) \rangle = \langle \alpha, f^* f(\alpha) \rangle
提示：注意伴随变换的定义：$\langle f(\alpha), \beta \rangle = \langle \alpha, f^*(\beta) \rangle$。
步骤 2/7
目标：推导算子等式
由于 $\langle \alpha, f^* f(\alpha) \rangle = \langle \alpha, g^* g(\alpha) \rangle$ 对所有 $\alpha \in V$ 成立，且 $f^* f$ 和 $g^* g$ 都是自伴算子，因此 $f^* f = g^* g$。
提示：两个自伴算子相等当且仅当它们的二次型相等。
步骤 3/7
目标：引入基和度量矩阵
设 $\eta_1, \eta_2, \dots, \eta_n$ 是 $V$ 的一组基，$f, g$ 在该基下的矩阵分别为 $A, B$。定义度量矩阵 $G$，其元素 $G_{ij} = \langle \eta_i, \eta_j \rangle$。由于内积是正定的，$G$ 是正定对称矩阵。
公式：G_{ij} = \langle \eta_i, \eta_j \rangle
提示：度量矩阵依赖于基的选取，但总是正定对称的。
步骤 4/7
目标：表示伴随变换的矩阵
线性变换 $f^*$ 在基 $\eta_1, \dots, \eta_n$ 下的矩阵为 $G^{-1} A^T G$。这是因为对任意 $\alpha, \beta \in V$，有 $\langle f(\alpha), \beta \rangle = \langle \alpha, f^*(\beta) \rangle$，通过坐标计算可得。类似地，$g^*$ 的矩阵为 $G^{-1} B^T G$。
公式：f^* \text{的矩阵} = G^{-1} A^T G
提示：注意矩阵乘法顺序：$G^{-1} A^T G$。
步骤 5/7
目标：表示复合算子的矩阵
复合算子 $f^* f$ 的矩阵为 $(G^{-1} A^T G) A = G^{-1} A^T G A$。类似地，$g^* g$ 的矩阵为 $G^{-1} B^T G B$。
公式：f^* f \text{的矩阵} = G^{-1} A^T G A
提示：注意矩阵乘法顺序：先乘 $A$ 再乘 $G^{-1} A^T G$。
步骤 6/7
目标：利用算子等式得到矩阵等式
由 $f^* f = g^* g$ 得 $G^{-1} A^T G A = G^{-1} B^T G B$。左乘 $G$ 得 $A^T G A = B^T G B$。
公式：A^T G A = B^T G B
提示：左乘 $G$ 时注意 $G G^{-1} = I$。
步骤 7/7
目标：结论
令 $P = G$，则 $P$ 是正定矩阵，且满足 $A^T P A = B^T P B$。因此存在正定矩阵 $P$ 使得等式成立。
提示：正定矩阵 $P$ 就是度量矩阵 $G$。
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