南京信息工程大学 2024年高等代数第0题
📝 题目
2．（10 分）$f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=2 x_{1}^{2}+3 x_{2}^{2}+3 x_{3}^{2}+2 t x_{2} x_{3}$ ，经 $X=T Y$ 得
$$
f\left(y_{1}, y_{2}, y_{3}\right)=2 y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+5 y_{3}^{2}
$$
求 $t$ 和 $T$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：写出二次型的矩阵
二次型 $f(x_1,x_2,x_3)=2x_1^2+3x_2^2+3x_3^2+2t x_2x_3$ 的矩阵 $A$ 为对称矩阵，其中 $x_i^2$ 的系数放在对角线上，$x_ix_j$ 的系数的一半放在 $(i,j)$ 和 $(j,i)$ 位置。因此 $$A=\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & t \\ 0 & t & 3 \end{pmatrix}.$$
公式：二次型矩阵的构造规则
提示：注意交叉项 $2t x_2x_3$ 的系数 $2t$ 应平分到 $a_{23}$ 和 $a_{32}$，即每个为 $t$。
步骤 2/8
目标：利用特征值不变性求参数 t
经过正交变换 $X=TY$ 后，二次型化为标准形 $2y_1^2+y_2^2+5y_3^2$，对应的矩阵为 $\Lambda=\operatorname{diag}(2,1,5)$。正交变换保持特征值不变，因此 $A$ 的特征值为 $2,1,5$。由特征值之和等于矩阵的迹：$2+3+3=8=2+1+5$，自动成立。由特征值之积等于行列式：$\det(A)=2\cdot(9-t^2)=2\cdot1\cdot5=10$，解得 $9-t^2=5$，即 $t^2=4$，$t=\pm2$。
公式：$\det(A)=\lambda_1\lambda_2\lambda_3$，$\operatorname{tr}(A)=\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3$
提示：注意行列式计算：$\det(A)=2\times(3\times3 - t\times t)=2(9-t^2)$。
步骤 3/8
目标：求 t=2 时的特征向量（特征值2）
当 $t=2$ 时，$A=\begin{pmatrix}2&0&0\\0&3&2\\0&2&3\end{pmatrix}$。对于特征值 $\lambda_1=2$，解 $(A-2I)x=0$：$$\begin{pmatrix}0&0&0\\0&1&2\\0&2&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=0$$ 得 $x_2+2x_3=0$，$2x_2+x_3=0$，解得 $x_2=x_3=0$，$x_1$ 自由。取 $x_1=1$，得特征向量 $(1,0,0)^T$，单位化得 $\xi_1=(1,0,0)^T$。
公式：$(A-\lambda I)x=0$
提示：解齐次线性方程组时，注意自由变量的选取。
步骤 4/8
目标：求 t=2 时的特征向量（特征值1和5）
对于 $\lambda_2=1$，解 $(A-I)x=0$：$$\begin{pmatrix}1&0&0\\0&2&2\\0&2&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=0$$ 得 $x_1=0$，$x_2+x_3=0$。取 $x_2=1$，$x_3=-1$，得特征向量 $(0,1,-1)^T$，单位化得 $\xi_2=(0,\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}})^T$。
对于 $\lambda_3=5$，解 $(A-5I)x=0$：$$\begin{pmatrix}-3&0&0\\0&-2&2\\0&2&-2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=0$$ 得 $x_1=0$，$-x_2+x_3=0$。取 $x_2=1$，$x_3=1$，得特征向量 $(0,1,1)^T$，单位化得 $\xi_3=(0,\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}})^T$。
公式：$(A-\lambda I)x=0$
提示：注意特征向量之间应正交，可验证内积为0。
步骤 5/8
目标：构造 t=2 时的正交变换矩阵 T
将单位化后的特征向量按列排列，得到正交变换矩阵：$$T=(\xi_1,\xi_2,\xi_3)=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&\frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{2}}\\0&-\frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{2}}\end{pmatrix}.$$ 该矩阵满足 $T^TAT=\Lambda$。
公式：正交变换矩阵由标准正交基组成
提示：注意特征向量的顺序应与标准形中特征值的顺序对应。
步骤 6/8
目标：求 t=-2 时的特征向量
当 $t=-2$ 时，$A=\begin{pmatrix}2&0&0\\0&3&-2\\0&-2&3\end{pmatrix}$。
对于 $\lambda_1=2$：解 $(A-2I)x=0$ 得 $x_2=x_3=0$，$x_1$ 自由，得 $\xi_1=(1,0,0)^T$。
对于 $\lambda_2=1$：解 $(A-I)x=0$ 得 $x_1=0$，$x_2-x_3=0$，取 $x_2=1$，$x_3=1$，得 $\xi_2=(0,\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}})^T$。
对于 $\lambda_3=5$：解 $(A-5I)x=0$ 得 $x_1=0$，$x_2+x_3=0$，取 $x_2=1$，$x_3=-1$，得 $\xi_3=(0,\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}})^T$。
公式：$(A-\lambda I)x=0$
提示：注意 t 的符号变化会导致特征向量不同，但特征值相同。
步骤 7/8
目标：构造 t=-2 时的正交变换矩阵 T
将特征向量按列排列：$$T=(\xi_1,\xi_2,\xi_3)=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&\frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{2}}\\0&\frac{1}{\sqrt{2}}&-\frac{1}{\sqrt{2}}\end{pmatrix}.$$
公式：正交变换矩阵由标准正交基组成
提示：注意与 t=2 时的 T 比较，第二列和第三列交换了位置？实际上顺序不同，但都是正交矩阵。
步骤 8/8
目标：总结答案
因此，$t=\pm2$，对应的正交变换矩阵 $T$ 分别为：
当 $t=2$ 时，$T=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&\frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{2}}\\0&-\frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{2}}\end{pmatrix}$；
当 $t=-2$ 时，$T=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&\frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{2}}\\0&\frac{1}{\sqrt{2}}&-\frac{1}{\sqrt{2}}\end{pmatrix}$。
提示：注意答案的完整性，t 有两个可能值。
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