南京信息工程大学 2024年高等代数第0题

由于$A$是实对称矩阵（$A^T=A$），且所有特征值大于0（后面会求），所以$A$是正定矩阵。对于正定矩阵，存在唯一的正定平方根$X$，满足$X^2=A$。求解方法是将$A$正交对角化：存在正交矩阵$Q$使得$Q^T A Q = \Lambda = \operatorname{diag}(\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3)$，其中$\lambda_i$是$A$的特征值。则$X = Q \sqrt{\Lambda} Q^T$，其中$\sqrt{\Lambda} = \operatorname{diag}(\sqrt{\lambda_1}, \sqrt{\lambda_2}, \sqrt{\lambda_3})$。

计算特征多项式： $$\det(A - \lambda I) = \begin{vmatrix} 2-\lambda & 1 & 1 \\ 1 & 2-\lambda & 1 \\ 1 & 1 & 2-\lambda \end{vmatrix}$$ 将第2、3行加到第1行，得： $$\begin{vmatrix} 4-\lambda & 4-\lambda & 4-\lambda \\ 1 & 2-\lambda & 1 \\ 1 & 1 & 2-\lambda \end{vmatrix} = (4-\lambda) \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2-\lambda & 1 \\ 1 & 1 & 2-\lambda \end{vmatrix}$$ 再将第1行乘以-1加到第2、3行： $$(4-\lambda) \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1-\lambda & 0 \\ 0 & 0 & 1-\lambda \end{vmatrix} = (4-\lambda)(1-\lambda)^2 = 0$$ 所以特征值为$\lambda_1=4$，$\lambda_2=\lambda_3=1$。

解$(A-4I)x=0$： $$\begin{pmatrix} -2 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & 1 \\ 1 & 1 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = 0$$ 由方程得$x_1=x_2=x_3$，取基础解系$v_1=(1,1,1)^T$，单位化得： $$q_1 = \frac{1}{\sqrt{3}}(1,1,1)^T$$

解$(A-I)x=0$： $$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = 0$$ 得$x_1+x_2+x_3=0$。需要找到两个正交且与$q_1$正交的向量。取$v_2=(1,-1,0)^T$，再取$v_3$与$v_1$和$v_2$正交，例如$v_3=(1,1,-2)^T$（可通过叉积或观察得到）。单位化： $$q_2 = \frac{1}{\sqrt{2}}(1,-1,0)^T, \quad q_3 = \frac{1}{\sqrt{6}}(1,1,-2)^T$$

将单位特征向量按列组成正交矩阵$Q$： $$Q = (q_1, q_2, q_3) = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{6}} \\ \frac{1}{\sqrt{3}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{6}} \\ \frac{1}{\sqrt{3}} & 0 & -\frac{2}{\sqrt{6}} \end{pmatrix}$$ 特征值平方根构成对角矩阵： $$\sqrt{\Lambda} = \operatorname{diag}(\sqrt{4}, \sqrt{1}, \sqrt{1}) = \operatorname{diag}(2,1,1)$$

先计算$Q \sqrt{\Lambda}$： $$Q \sqrt{\Lambda} = \begin{pmatrix} \frac{2}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{6}} \\ \frac{2}{\sqrt{3}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{6}} \\ \frac{2}{\sqrt{3}} & 0 & -\frac{2}{\sqrt{6}} \end{pmatrix}$$ 再乘以$Q^T$： $$X = (Q \sqrt{\Lambda}) Q^T = \begin{pmatrix} \frac{2}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{6}} \\ \frac{2}{\sqrt{3}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{6}} \\ \frac{2}{\sqrt{3}} & 0 & -\frac{2}{\sqrt{6}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{3}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} & 0 \\ \frac{1}{\sqrt{6}} & \frac{1}{\sqrt{6}} & -\frac{2}{\sqrt{6}} \end{pmatrix}$$ 计算各元素（以$X_{11}$为例）： $$X_{11} = \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{6}} \cdot \frac{1}{\sqrt{6}} = \frac{2}{3} + \frac{1}{2} + \frac{1}{6} = \frac{4}{3}$$ 类似可得： $$X = \begin{pmatrix} \frac{4}{3} & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} \\ \frac{1}{3} & \frac{4}{3} & \frac{1}{3} \\ \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & \frac{4}{3} \end{pmatrix} = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 4 & 1 & 1 \\ 1 & 4 & 1 \\ 1 & 1 & 4 \end{pmatrix}$$

验证$X^2 = A$： $$X^2 = \frac{1}{9} \begin{pmatrix} 4 & 1 & 1 \\ 1 & 4 & 1 \\ 1 & 1 & 4 \end{pmatrix}^2 = \frac{1}{9} \begin{pmatrix} 18 & 9 & 9 \\ 9 & 18 & 9 \\ 9 & 9 & 18 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix} = A$$ 因此$X$是满足条件的正定矩阵。