南京信息工程大学 2024年高等代数第0题
📝 题目
4．（15 分）已知 $V=P[x]_{4}$ ，多项式 $f_{1}, f_{2}, f_{3}, f_{4}$ ，
$$
\begin{gathered}
f_{1}=a+1+2 x+3 x^{2}+4 x^{3} \\
f_{2}=1+(a+2) x+3 x^{2}+4 x^{3} \\
f_{3}(x)=1+2 x+(3+a) x^{2}+4 x^{3} \\
f_{4}(x)=1+2 x+3 x^{2}+(a+4) x^{3}
\end{gathered}
$$
求 $a$ ，使得 $V_{1}=L\left(f_{1}, f_{2}\right)$ 与 $V_{2}=L\left(f_{3}, f_{4}\right)$ 满足 $V=V_{1} \oplus V_{2}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：理解直和条件
要使得 $V = V_1 \oplus V_2$，需满足 $V_1 + V_2 = V$ 且 $V_1 \cap V_2 = \{0\}$。由于 $V = P[x]_4$ 是4维线性空间，$V_1$ 和 $V_2$ 都是2维子空间（因为 $f_1, f_2$ 线性无关，$f_3, f_4$ 线性无关当且仅当 $a \neq 0$），所以 $V_1 \oplus V_2$ 是4维的充要条件是 $V_1 \cap V_2 = \{0\}$，即 $f_1, f_2, f_3, f_4$ 线性无关。
提示：注意：直和需要子空间的和是直和，即交集为零空间。
步骤 2/7
目标：将多项式表示为坐标向量
取基 $\{1, x, x^2, x^3\}$，将多项式表示为坐标向量：
$f_1 = (a+1, 2, 3, 4)^T$，
$f_2 = (1, a+2, 3, 4)^T$，
$f_3 = (1, 2, a+3, 4)^T$，
$f_4 = (1, 2, 3, a+4)^T$。
提示：注意坐标顺序与基的对应关系。
步骤 3/7
目标：构造矩阵并计算行列式
构造矩阵 $A = [f_1, f_2, f_3, f_4]$，其行列式为：
$$
\det A = \begin{vmatrix}
a+1 & 1 & 1 & 1 \\
2 & a+2 & 2 & 2 \\
3 & 3 & a+3 & 3 \\
4 & 4 & 4 & a+4
\end{vmatrix}.
$$
将第2、3、4列减去第1列：
$$
\begin{vmatrix}
a+1 & -a & -a & -a \\
2 & a & 0 & 0 \\
3 & 0 & a & 0 \\
4 & 0 & 0 & a
\end{vmatrix}.
$$
公式：行列式性质：将一列的倍数加到另一列，行列式不变。
提示：列变换时注意符号变化。
步骤 4/7
目标：按第一列展开行列式
按第一列展开：
$$
\det A = (a+1) \begin{vmatrix}
a & 0 & 0 \\
0 & a & 0 \\
0 & 0 & a
\end{vmatrix} - 2 \begin{vmatrix}
-a & -a & -a \\
0 & a & 0 \\
0 & 0 & a
\end{vmatrix} + 3 \begin{vmatrix}
-a & -a & -a \\
a & 0 & 0 \\
0 & 0 & a
\end{vmatrix} - 4 \begin{vmatrix}
-a & -a & -a \\
a & 0 & 0 \\
0 & a & 0
\end{vmatrix}.
$$
公式：拉普拉斯展开：$\det A = \sum_{j=1}^n (-1)^{i+j} a_{ij} M_{ij}$。
提示：注意符号：$(-1)^{i+j}$，这里i=1，所以符号为$(-1)^{1+j}$。
步骤 5/7
目标：计算各子式
第一个子式：$a^3$；
第二个子式：$(-a) \cdot a^2 = -a^3$；
第三个子式：先交换行：$\begin{vmatrix} a & 0 & 0 \\ -a & -a & -a \\ 0 & 0 & a \end{vmatrix} = a \cdot (-a) \cdot a = -a^3$，但注意原行列式是 $\begin{vmatrix} -a & -a & -a \\ a & 0 & 0 \\ 0 & 0 & a \end{vmatrix}$，按第一行展开得 $(-a) \begin{vmatrix} 0 & 0 \\ a & 0 \end{vmatrix} - (-a) \begin{vmatrix} a & 0 \\ 0 & 0 \end{vmatrix} + (-a) \begin{vmatrix} a & 0 \\ 0 & a \end{vmatrix} = 0 + 0 + (-a) \cdot a^2 = -a^3$，所以第三项为 $3 \cdot (-a^3) = -3a^3$；
第四个子式：$\begin{vmatrix} -a & -a & -a \\ a & 0 & 0 \\ 0 & a & 0 \end{vmatrix}$，按第一行展开得 $(-a) \begin{vmatrix} 0 & 0 \\ a & 0 \end{vmatrix} - (-a) \begin{vmatrix} a & 0 \\ 0 & 0 \end{vmatrix} + (-a) \begin{vmatrix} a & 0 \\ 0 & a \end{vmatrix} = 0 + 0 + (-a) \cdot a^2 = -a^3$，所以第四项为 $-4 \cdot (-a^3) = 4a^3$。
提示：计算子式时注意符号和展开方式。
步骤 6/7
目标：合并结果得到行列式表达式
总和：$(a+1)a^3 - 2(-a^3) - 3a^3 + 4a^3 = (a+1)a^3 + 2a^3 - 3a^3 + 4a^3 = (a+1+2-3+4)a^3 = (a+4)a^3$。
所以 $\det A = a^3(a+4)$。
提示：合并同类项时小心系数。
步骤 7/7
目标：确定a的取值范围
令行列式不为零，即 $a^3(a+4) \neq 0$，得 $a \neq 0$ 且 $a \neq -4$。
还需验证 $f_1, f_2$ 线性无关和 $f_3, f_4$ 线性无关。当 $a=0$ 时，$f_1 = (1,2,3,4)$，$f_2 = (1,2,3,4)$，线性相关，所以 $a \neq 0$。当 $a=-4$ 时，$f_3 = (1,2,-1,4)$，$f_4 = (1,2,3,0)$，它们线性无关，但整体线性相关，所以 $a \neq -4$。
因此 $a$ 的取值范围是 $a \in \mathbb{R} \setminus \{0, -4\}$。
提示：注意：行列式为零是线性相关的充要条件，但还需验证子空间维数正确。
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