南京信息工程大学 2024年高等代数第0题
📝 题目
5．设 $A=\left(\begin{array}{cccc}3 & 0 & 8 & 0 \\ 3 & -1 & 6 & 0 \\ -2 & 0 & -5 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2\end{array}\right)$ ，求 $A$ 的若尔当标准型 $J$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：求特征值
矩阵 $A$ 是分块对角矩阵，左上角 $3\times 3$ 块为 $B=\begin{pmatrix}3 & 0 & 8 \\ 3 & -1 & 6 \\ -2 & 0 & -5\end{pmatrix}$，右下角为 $[2]$。先求 $B$ 的特征值：
$$\det(\lambda I - B) = \begin{vmatrix}\lambda-3 & 0 & -8 \\ -3 & \lambda+1 & -6 \\ 2 & 0 & \lambda+5\end{vmatrix} = (\lambda+1)\begin{vmatrix}\lambda-3 & -8 \\ 2 & \lambda+5\end{vmatrix} = (\lambda+1)[(\lambda-3)(\lambda+5)+16] = (\lambda+1)(\lambda^2+2\lambda+1) = (\lambda+1)^3.$$
所以 $B$ 的特征值为 $-1$（三重），$A$ 的特征值为 $-1$（三重）和 $2$（一重）。
公式：$$\det(\lambda I - A)=0$$
提示：注意分块对角矩阵的特征值等于各块特征值的并集。
步骤 2/6
目标：确定特征值2的若尔当块
特征值 $2$ 的代数重数为1，几何重数也为1，所以对应一个1阶若尔当块 $J_1(2)$。
提示：代数重数为1时，几何重数必为1，无需计算。
步骤 3/6
目标：计算特征值-1的几何重数
计算 $A+I$ 的秩：
$$A+I = \begin{pmatrix}4 & 0 & 8 & 0 \\ 3 & 0 & 6 & 0 \\ -2 & 0 & -4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3\end{pmatrix}.$$
左上角 $3\times 3$ 块为 $B+I = \begin{pmatrix}4 & 0 & 8 \\ 3 & 0 & 6 \\ -2 & 0 & -4\end{pmatrix}$，其秩为1（第二列为0，第一、三列成比例）。所以 $\text{rank}(A+I)=1+1=2$（右下角 $3$ 贡献1）。因此，特征值 $-1$ 的几何重数为 $4-\text{rank}(A+I)=4-2=2$。
公式：几何重数 = $n - \text{rank}(\lambda I - A)$
提示：注意分块对角矩阵的秩等于各块秩之和。
步骤 4/6
目标：计算 $(A+I)^2$ 的秩
计算 $(A+I)^2$：
$$(A+I)^2 = \begin{pmatrix}4 & 0 & 8 & 0 \\ 3 & 0 & 6 & 0 \\ -2 & 0 & -4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3\end{pmatrix}^2 = \begin{pmatrix}4 & 0 & 8 \\ 3 & 0 & 6 \\ -2 & 0 & -4\end{pmatrix}^2 \oplus [9].$$
计算左上角块的平方：
$$\begin{pmatrix}4 & 0 & 8 \\ 3 & 0 & 6 \\ -2 & 0 & -4\end{pmatrix}^2 = \begin{pmatrix}0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}.$$
所以 $(A+I)^2 = \begin{pmatrix}0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 9\end{pmatrix}$，秩为1。
提示：矩阵乘法要仔细，注意零矩阵的出现。
步骤 5/6
目标：确定特征值-1的若尔当块结构
计算 $d_i = \text{rank}((A+I)^{i-1}) - \text{rank}((A+I)^i)$：
- $d_1 = 4-2=2$（1阶块个数）
- $d_2 = 2-1=1$（2阶块个数）
- $d_3 = 1-1=0$（3阶块个数）
所以有一个2阶若尔当块和一个1阶若尔当块。
公式：$$d_i = \text{rank}((\lambda I - A)^{i-1}) - \text{rank}((\lambda I - A)^i)$$
提示：注意 $\text{rank}((A+I)^0)=n=4$。
步骤 6/6
目标：写出若尔当标准型
综合以上，$A$ 的若尔当标准型为：
$$J = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}.$$
提示：若尔当块的对角线为特征值，次对角线为1，其余为0。
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