南京信息工程大学 2025年高等代数第0题
📝 题目
1、 -3 是 $A=\left(\begin{array}{ccc}3 & -2 & -4 \\ -2 & x & -2 \\ -4 & -2 & 3\end{array}\right)$ 的特征值，求 $x$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：利用特征值定义建立方程
由于-3是矩阵$A$的特征值，则特征多项式$f(\lambda)=\det(\lambda I - A)$满足$f(-3)=0$。
公式：$f(\lambda)=\det(\lambda I - A)$
提示：注意特征多项式定义为$\det(\lambda I - A)$，而不是$\det(A - \lambda I)$，但两者相差一个符号$(-1)^n$，代入后方程相同。
步骤 2/6
目标：写出特征多项式并代入λ=-3
计算$f(\lambda)=\det\begin{pmatrix} \lambda-3 & 2 & 4 \\ 2 & \lambda-x & 2 \\ 4 & 2 & \lambda-3 \end{pmatrix}$。代入$\lambda=-3$得：$\det\begin{pmatrix} -6 & 2 & 4 \\ 2 & -3-x & 2 \\ 4 & 2 & -6 \end{pmatrix}=0$。
提示：代入时注意符号：$\lambda-3$变为$-6$，$\lambda-x$变为$-3-x$。
步骤 3/6
目标：按第一行展开行列式
按第一行展开：$\begin{vmatrix} -6 & 2 & 4 \\ 2 & -3-x & 2 \\ 4 & 2 & -6 \end{vmatrix} = -6 \begin{vmatrix} -3-x & 2 \\ 2 & -6 \end{vmatrix} -2 \begin{vmatrix} 2 & 2 \\ 4 & -6 \end{vmatrix} +4 \begin{vmatrix} 2 & -3-x \\ 4 & 2 \end{vmatrix}$。
公式：行列式按行展开公式
提示：注意符号：第一行元素$a_{11}=-6$，其代数余子式$M_{11}$为正；$a_{12}=2$，代数余子式$M_{12}$为负；$a_{13}=4$，代数余子式$M_{13}$为正。
步骤 4/6
目标：计算各二阶行列式
计算三个二阶行列式：
1. $\begin{vmatrix} -3-x & 2 \\ 2 & -6 \end{vmatrix} = (-3-x)(-6) - 2\cdot 2 = 6(3+x) - 4 = 18+6x-4 = 14+6x$。
2. $\begin{vmatrix} 2 & 2 \\ 4 & -6 \end{vmatrix} = 2\cdot(-6) - 2\cdot4 = -12-8 = -20$。
3. $\begin{vmatrix} 2 & -3-x \\ 4 & 2 \end{vmatrix} = 2\cdot2 - (-3-x)\cdot4 = 4 + 4(3+x) = 4+12+4x = 16+4x$。
公式：二阶行列式公式：$\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}=ad-bc$
提示：注意第二个行列式计算时不要漏掉负号。
步骤 5/6
目标：代入并化简得到方程
代入展开式：$-6(14+6x) -2(-20) +4(16+4x) = -84 -36x +40 +64 +16x = 20 -20x$。令其等于0：$20-20x=0$。
提示：合并同类项时注意符号，$-36x+16x=-20x$，常数项$-84+40+64=20$。
步骤 6/6
目标：解方程得x
由$20-20x=0$解得$x=1$。
提示：解一元一次方程时注意移项变号。
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