南京信息工程大学 2025年高等代数第0题
📝 题目
2、多项式 $f(x)$ 满足，$x-1$ 除 $f(x)$ 余 $5, x+2$ 除 $f(x)$ 余 2 ，求 $(x-1)(x+2)$ 除 $f(x)$的余式。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：理解题意并设定余式形式
已知多项式 $f(x)$ 满足：当除以 $x-1$ 时余数为 $5$，当除以 $x+2$ 时余数为 $2$。要求 $f(x)$ 除以 $(x-1)(x+2)$ 的余式。由于除式是二次多项式，余式次数小于2，故可设余式为 $r(x)=ax+b$，其中 $a,b$ 为待定常数。
公式：余式定理：若 $f(x)$ 除以 $x-c$ 余 $r$，则 $f(c)=r$。
提示：注意余式的次数必须小于除式的次数，这里除式为二次，所以余式是一次或常数。
步骤 2/5
目标：写出带余除法表达式
设 $f(x)$ 除以 $(x-1)(x+2)$ 的商为 $q(x)$，余式为 $ax+b$，则有：
$$ f(x) = (x-1)(x+2) q(x) + ax + b. $$
提示：不要忘记商 $q(x)$ 的存在，它表示多项式除法中的商。
步骤 3/5
目标：利用余数条件建立方程组
由 $x-1$ 除 $f(x)$ 余 $5$，根据余式定理得 $f(1)=5$。代入表达式：
$$ f(1) = (1-1)(1+2) q(1) + a\cdot 1 + b = 0 + a + b = 5. $$
由 $x+2$ 除 $f(x)$ 余 $2$，得 $f(-2)=2$。代入：
$$ f(-2) = (-2-1)(-2+2) q(-2) + a\cdot(-2) + b = 0 -2a + b = 2. $$
因此得到方程组：
$$ \begin{cases} a + b = 5 \\ -2a + b = 2 \end{cases} $$
提示：注意代入时 $x=1$ 和 $x=-2$ 时，$(x-1)(x+2)$ 项为零，所以商的部分消失，只留下余式。
步骤 4/5
目标：解方程组求系数
解方程组：
$$ \begin{cases} a + b = 5 \\ -2a + b = 2 \end{cases} $$
两式相减（第一式减第二式）：$(a+b) - (-2a+b) = 5-2$，即 $3a = 3$，解得 $a=1$。
代入第一式：$1 + b = 5$，得 $b=4$。
提示：解方程组时注意符号，避免计算错误。
步骤 5/5
目标：写出余式并验证
因此余式为 $r(x) = ax + b = 1\cdot x + 4 = x+4$。
验证：$f(1)=1+4=5$，$f(-2)=-2+4=2$，满足条件。
提示：验证是检查答案正确性的好习惯。
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