南京信息工程大学 2025年高等代数第0题
📝 题目
3、矩阵 $A$ 满足 $A^{2}=2 A$ ，求 $E-A$ 的逆．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：分析已知条件
已知矩阵 $A$ 满足 $A^2 = 2A$。这是一个矩阵方程，提示 $A$ 可能具有某些特殊性质，例如幂等性（但此处是 $A^2=2A$，不是标准幂等）。
公式：$A^2 = 2A$
提示：注意不要将 $A^2=2A$ 误认为 $A=2E$，因为矩阵乘法不满足消去律。
步骤 2/6
目标：假设逆矩阵形式
由于 $A$ 满足二次方程，可猜测 $(E-A)^{-1}$ 是 $E$ 与 $A$ 的线性组合。设 $(E-A)^{-1} = E + kA$，其中 $k$ 为待定常数。
公式：$(E-A)^{-1} = E + kA$
提示：这种假设基于矩阵多项式求逆的常见技巧，但需要验证合理性。
步骤 3/6
目标：计算乘积并利用条件
计算 $(E-A)(E+kA) = E + kA - A - kA^2 = E + (k-1)A - kA^2$。代入 $A^2 = 2A$，得 $E + (k-1)A - k \cdot 2A = E + (k-1-2k)A = E - (k+1)A$。
公式：$(E-A)(E+kA) = E - (k+1)A$
提示：注意矩阵乘法顺序，$A^2$ 替换时系数要正确。
步骤 4/6
目标：确定待定系数
要使 $(E-A)(E+kA) = E$，需 $E - (k+1)A = E$，即 $-(k+1)A = 0$。由于 $A$ 不一定为零矩阵，故 $k+1=0$，解得 $k=-1$。
公式：$k+1=0 \Rightarrow k=-1$
提示：这里假设 $A$ 不是零矩阵，但即使 $A=0$，$k=-1$ 也成立，所以解是通用的。
步骤 5/6
目标：得出逆矩阵表达式
将 $k=-1$ 代入假设，得 $(E-A)^{-1} = E - A$。
公式：$(E-A)^{-1} = E - A$
提示：注意符号：$E - A$ 而不是 $E + A$。
步骤 6/6
目标：验证结果
验证 $(E-A)(E-A) = E - 2A + A^2 = E - 2A + 2A = E$，满足逆矩阵定义。因此结果正确。
公式：$(E-A)^2 = E$
提示：验证时注意 $A^2=2A$ 的代入。
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