南京信息工程大学 2025年高等代数第0题
📝 题目
4、在 $R[x]_{3}$ 上的欧式空间，$(f(x), g(x))=\int_{0}^{1} f(x) g(x) d x$ ，求 $x^{2}-1$ 的长量．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：定义向量长度（范数）
设 $f(x)=x^2-1$，则 $f(x)$ 的长度（范数）定义为 $\|f\| = \sqrt{(f,f)}$，其中内积 $(f,g)=\int_0^1 f(x)g(x)\,dx$。
公式：\|f\| = \sqrt{(f,f)}
提示：注意范数是非负的，且内积是积分形式。
步骤 2/6
目标：写出内积表达式
计算 $(f,f) = \int_0^1 (x^2-1)^2 \,dx$。
公式：(f,f)=\int_0^1 f(x)^2 dx
提示：不要忘记平方。
步骤 3/6
目标：展开被积函数
展开 $(x^2-1)^2 = x^4 - 2x^2 + 1$。
公式：(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2
提示：注意符号，-2x^2 的系数是负的。
步骤 4/6
目标：逐项积分
分别计算三项的积分：
$\int_0^1 x^4\,dx = \left.\frac{x^5}{5}\right|_0^1 = \frac{1}{5}$，
$\int_0^1 -2x^2\,dx = -2\left.\frac{x^3}{3}\right|_0^1 = -\frac{2}{3}$，
$\int_0^1 1\,dx = 1$。
公式：\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}
提示：积分上下限代入时注意计算准确。
步骤 5/6
目标：求和得到内积值
将三项积分结果相加：
$(f,f) = \frac{1}{5} - \frac{2}{3} + 1 = \frac{3}{15} - \frac{10}{15} + \frac{15}{15} = \frac{8}{15}$。
提示：通分时公分母为15，注意分子计算。
步骤 6/6
目标：计算长度
长度 $\|f\| = \sqrt{\frac{8}{15}} = \frac{2\sqrt{30}}{15}$。
公式：\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}
提示：化简根式：$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，但这里分母有理化后得到 $\frac{2\sqrt{30}}{15}$。
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