南京信息工程大学 2025年高等代数第0题
📝 题目
5、 $W=\left\{\left(x_{0} x_{2}, \cdots, x_{n}\right) \mid x_{1}+x_{0}+\cdots+x_{n}=0\right\}$ 的补空间 $W^{\perp}$ 的一组标准正交基。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：明确空间和子空间
设 $V = \mathbb{R}^{n+1}$，内积为标准欧几里得内积。定义子空间 $W = \{ (x_0, x_1, \dots, x_n) \in \mathbb{R}^{n+1} \mid x_0 + x_1 + \cdots + x_n = 0 \}$。
提示：注意 $W$ 是超平面，其维数为 $n$。
步骤 2/6
目标：确定正交补的维数
由于 $W$ 是 $\mathbb{R}^{n+1}$ 的余维数为1的子空间，故 $\dim W^\perp = 1$。
公式：$\dim W + \dim W^\perp = \dim V = n+1$
提示：余维数为1意味着 $W^\perp$ 是一维的。
步骤 3/6
目标：寻找 $W^\perp$ 的一个非零向量
考虑向量 $\mathbf{1} = (1,1,\dots,1) \in \mathbb{R}^{n+1}$。对任意 $w = (x_0,\dots,x_n) \in W$，有 $\langle \mathbf{1}, w \rangle = \sum_{i=0}^n x_i = 0$，故 $\mathbf{1} \in W^\perp$。又 $\mathbf{1} \notin W$，因此 $W^\perp = \operatorname{span}\{\mathbf{1}\}$。
公式：$\langle \mathbf{1}, w \rangle = \sum_{i=0}^n x_i$
提示：验证 $\mathbf{1}$ 与 $W$ 中任意向量正交。
步骤 4/6
目标：计算 $\mathbf{1}$ 的范数
计算 $\|\mathbf{1}\| = \sqrt{\langle \mathbf{1}, \mathbf{1} \rangle} = \sqrt{\sum_{i=0}^n 1^2} = \sqrt{n+1}$。
公式：$\|v\| = \sqrt{\langle v, v \rangle}$
提示：注意求和从0到n，共 $n+1$ 项。
步骤 5/6
目标：单位化得到标准正交基
将 $\mathbf{1}$ 单位化，得到 $e = \frac{\mathbf{1}}{\|\mathbf{1}\|} = \frac{1}{\sqrt{n+1}}(1,1,\dots,1)$。由于 $\dim W^\perp = 1$，$\{e\}$ 即为一组标准正交基。
公式：$e = \frac{v}{\|v\|}$
提示：标准正交基要求向量长度为1且相互正交，这里只有一个向量。
步骤 6/6
目标：总结结果
因此，$W^\perp$ 的一组标准正交基为 $\left\{ \frac{1}{\sqrt{n+1}} (1,1,\dots,1) \right\}$。
提示：注意基向量是唯一的，但表示形式可以不同（如乘以-1）。
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