南京信息工程大学 2025年高等代数第0题
📝 题目
2、（15 分）$v_{1}=\left\{x \in R^{n} \mid(A+E) x=0\right\}, v_{2}=\left\{x \in R^{n} \mid(A-E) x=0\right\}$ ，证明：
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A^{2}=E \Leftrightarrow R^{n}=V_{1} \oplus V_{2} .
$$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：证明必要性：V1 ∩ V2 = {0}
设 $x \in V_1 \cap V_2$，则 $(A+E)x=0$ 且 $(A-E)x=0$。两式相加得 $2Ax=0$，即 $Ax=0$；两式相减得 $2Ex=0$，即 $x=0$。故 $V_1 \cap V_2 = \{0\}$。
公式：$(A+E)x=0$, $(A-E)x=0$
提示：注意两式相加和相减时系数2的处理，不要遗漏因子。
步骤 2/7
目标：证明必要性：R^n = V1 + V2
对任意 $x \in \mathbb{R}^n$，令 $x_1 = \frac{1}{2}(E - A)x$，$x_2 = \frac{1}{2}(E + A)x$。则 $x = x_1 + x_2$。计算 $(A+E)x_1 = \frac{1}{2}(A+E)(E-A)x = \frac{1}{2}(A - A^2 + E - A)x = \frac{1}{2}(E - A^2)x = 0$（因为 $A^2=E$），所以 $x_1 \in V_1$。类似地，$(A-E)x_2 = \frac{1}{2}(A-E)(E+A)x = \frac{1}{2}(A + A^2 - E - A)x = \frac{1}{2}(A^2 - E)x = 0$，所以 $x_2 \in V_2$。因此 $\mathbb{R}^n = V_1 + V_2$。
公式：$x_1 = \frac{1}{2}(E - A)x$, $x_2 = \frac{1}{2}(E + A)x$
提示：构造分解时注意系数1/2，确保分解成立；计算中利用A^2=E化简。
步骤 3/7
目标：必要性结论：R^n = V1 ⊕ V2
由前两步，$V_1 \cap V_2 = \{0\}$ 且 $\mathbb{R}^n = V_1 + V_2$，根据直和的定义，$\mathbb{R}^n = V_1 \oplus V_2$。
提示：直和需要同时满足和与交的条件。
步骤 4/7
目标：证明充分性：利用直和分解表示任意向量
假设 $\mathbb{R}^n = V_1 \oplus V_2$。对任意 $x \in \mathbb{R}^n$，存在唯一分解 $x = x_1 + x_2$，其中 $x_1 \in V_1$，$x_2 \in V_2$。则 $Ax = A(x_1 + x_2) = Ax_1 + Ax_2$。
公式：$x = x_1 + x_2$
提示：注意分解的唯一性由直和保证。
步骤 5/7
目标：证明充分性：计算A在子空间上的作用
由 $V_1$ 定义：$(A+E)x_1 = 0 \Rightarrow Ax_1 = -x_1$；由 $V_2$ 定义：$(A-E)x_2 = 0 \Rightarrow Ax_2 = x_2$。因此 $Ax = -x_1 + x_2$。
公式：$Ax_1 = -x_1$, $Ax_2 = x_2$
提示：注意符号不要搞反。
步骤 6/7
目标：证明充分性：验证A^2 = E
计算 $A^2 x = A(Ax) = A(-x_1 + x_2) = -Ax_1 + Ax_2 = -(-x_1) + x_2 = x_1 + x_2 = x$。由于 $x$ 任意，故 $A^2 = E$。
公式：$A^2 x = x$
提示：注意代入时Ax1和Ax2的结果。
步骤 7/7
目标：总结
综合必要性和充分性，$A^2 = E \Leftrightarrow \mathbb{R}^n = V_1 \oplus V_2$。
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