南京信息工程大学 2025年高等代数第0题
📝 题目
3、（15 分）$A$ 是幂零变换，即存在正整数 $K, A^{k}=0, B$ 满足 $A B+B A=B$ ．
（5 分）（1）证明：$E-A$ 可递．
（10 分）（2）证明：$B=0$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：证明 E-A 可逆
由于 $A$ 是幂零变换，存在正整数 $k$ 使得 $A^k = 0$。考虑 $(E-A)(E+A+A^2+\cdots+A^{k-1}) = E - A^k = E$，因此 $E-A$ 可逆，且逆为 $E+A+\cdots+A^{k-1}$。
公式：(E-A)(E+A+\cdots+A^{k-1}) = E - A^k = E
提示：注意幂零指数 $k$ 的存在性，以及几何级数求和公式的适用条件。
步骤 2/5
目标：利用已知条件 AB+BA=B 进行变形
已知 $AB+BA=B$，移项得 $AB = B - BA = B(E-A)$。
公式：AB = B(E-A)
提示：注意矩阵乘法不交换，但此处提取公因子时需小心顺序。
步骤 3/5
目标：右乘逆矩阵得到 B 的表达式
由 $AB = B(E-A)$ 两边右乘 $(E-A)^{-1}$ 得 $AB(E-A)^{-1} = B$。
公式：AB(E-A)^{-1} = B
提示：确保 $(E-A)$ 可逆，已由第一步证明。
步骤 4/5
目标：迭代代入得到 B 的幂次形式
将 $B = AB(E-A)^{-1}$ 代入自身：$B = A \cdot (AB(E-A)^{-1}) \cdot (E-A)^{-1} = A^2 B (E-A)^{-2}$。重复此过程，可得对任意正整数 $n$，$B = A^n B (E-A)^{-n}$。
公式：B = A^n B (E-A)^{-n}
提示：迭代时注意矩阵乘法的结合性，以及 $(E-A)^{-1}$ 与 $A$ 可交换（因为 $(E-A)^{-1} = \sum_{i=0}^{k-1} A^i$）。
步骤 5/5
目标：利用幂零性推出 B=0
取 $n = k$，则 $A^k = 0$，代入得 $B = A^k B (E-A)^{-k} = 0 \cdot B (E-A)^{-k} = 0$。因此 $B=0$。
公式：B = A^k B (E-A)^{-k} = 0
提示：注意 $A^k=0$ 是已知条件，且 $(E-A)^{-k}$ 存在，但乘以零矩阵结果为零。
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